Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9252 / 7564
↖ ↑ ↗
← N 13.667338°
E 23.291016°		 ← 2 374.03 m → N 13.667338°
E 23.312988°		 →
↑
2 374.15 m
↓
↑
2 374.15 m
↓
N 13.645987°
E 23.291016°		 ← 2 374.25 m →
5 636 572 m²		 N 13.645987°
E 23.312988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564727783203125 y=0.461700439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564727783203125 × 214)
    floor (0.564727783203125 × 16384)
    floor (9252.5)     		tx = 9252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461700439453125 × 214)
    floor (0.461700439453125 × 16384)
    floor (7564.5)     		ty = 7564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9252 / 7564 ti = "14/9252/7564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9252/7564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9252 ÷ 214
    9252 ÷ 16384     		x = 0.564697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7564 ÷ 214
    7564 ÷ 16384     		y = 0.461669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564697265625 × 2 - 1) × π
    0.12939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40650491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461669921875 × 2 - 1) × π
    0.07666015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.240834983691162
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40650491} λ = 0.40650491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.240834983691162))-π/2
    2×atan(1.27231106590873)-π/2
    2×0.904668189701489-π/2
    1.80933637940298-1.57079632675     		φ = 0.23854005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40650491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.291016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23854005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.667338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9252 KachelY 7564 0.40650491 0.23854005 23.291016 13.667338
    Oben rechts KachelX + 1 9253 KachelY 7564 0.40688840 0.23854005 23.312988 13.667338
    Unten links KachelX 9252 KachelY + 1 7565 0.40650491 0.23816740 23.291016 13.645987
    Unten rechts KachelX + 1 9253 KachelY + 1 7565 0.40688840 0.23816740 23.312988 13.645987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23854005-0.23816740) × R
    0.000372650000000002 × 6371000     		dl = 2374.15315000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23854005-0.23816740) × R
    0.000372650000000002 × 6371000     		dr = 2374.15315000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40650491-0.40688840) × cos(0.23854005) × R
    0.000383489999999986 × 0.971683973497278 × 6371000     		do = 2374.03265525443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40650491-0.40688840) × cos(0.23816740) × R
    0.000383489999999986 × 0.971771957360066 × 6371000     		du = 2374.24761872928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23854005)-sin(0.23816740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971683973497278-0.971771957360066)×R²
    abs(0.40688840-0.40650491)×8.7983862788521e-05×R²
    0.000383489999999986×8.7983862788521e-05×6371000²
    0.000383489999999986×8.7983862788521e-05×40589641000000     		ar = 5636572.35000912m²