Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9252 / 5148
↖ ↑ ↗
← N 76.770602°
W 78.354492°		 ← 279.57 m → N 76.770602°
W 78.343506°		 →
↑
279.62 m
↓
↑
279.62 m
↓
N 76.768087°
W 78.354492°		 ← 279.62 m →
78 182 m²		 N 76.768087°
W 78.343506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282363891601562 y=0.157119750976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282363891601562 × 215)
    floor (0.282363891601562 × 32768)
    floor (9252.5)     		tx = 9252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157119750976562 × 215)
    floor (0.157119750976562 × 32768)
    floor (5148.5)     		ty = 5148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9252 / 5148 ti = "15/9252/5148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9252/5148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9252 ÷ 215
    9252 ÷ 32768     		x = 0.2823486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5148 ÷ 215
    5148 ÷ 32768     		y = 0.1571044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2823486328125 × 2 - 1) × π
    -0.435302734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.36754387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1571044921875 × 2 - 1) × π
    0.685791015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.1544760165238
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36754387} λ = -1.36754387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1544760165238))-π/2
    2×atan(8.62337049130478)-π/2
    2×1.45534804818925-π/2
    2.9106960963785-1.57079632675     		φ = 1.33989977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36754387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.354492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33989977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.770602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9252 KachelY 5148 -1.36754387 1.33989977 -78.354492 76.770602
    Oben rechts KachelX + 1 9253 KachelY 5148 -1.36735212 1.33989977 -78.343506 76.770602
    Unten links KachelX 9252 KachelY + 1 5149 -1.36754387 1.33985588 -78.354492 76.768087
    Unten rechts KachelX + 1 9253 KachelY + 1 5149 -1.36735212 1.33985588 -78.343506 76.768087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33989977-1.33985588) × R
    4.38899999999354e-05 × 6371000     		dl = 279.623189999588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33989977-1.33985588) × R
    4.38899999999354e-05 × 6371000     		dr = 279.623189999588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36754387--1.36735212) × cos(1.33989977) × R
    0.000191749999999935 × 0.228850379014879 × 6371000     		do = 279.572605381858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36754387--1.36735212) × cos(1.33985588) × R
    0.000191749999999935 × 0.228893104024459 × 6371000     		du = 279.624799930518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33989977)-sin(1.33985588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228850379014879-0.228893104024459)×R²
    abs(-1.36735212--1.36754387)×4.2725009580441e-05×R²
    0.000191749999999935×4.2725009580441e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.2725009580441e-05×40589641000000     		ar = 78182.2811689263m²