Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9252 / 11372
↖ ↑ ↗
← N 75.347841°
W129.177246°		 ← 154.50 m → N 75.347841°
W129.171753°		 →
↑
154.50 m
↓
↑
154.50 m
↓
N 75.346452°
W129.177246°		 ← 154.51 m →
23 871 m²		 N 75.346452°
W129.171753°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.141181945800781 y=0.173530578613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.141181945800781 × 216)
    floor (0.141181945800781 × 65536)
    floor (9252.5)     		tx = 9252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.173530578613281 × 216)
    floor (0.173530578613281 × 65536)
    floor (11372.5)     		ty = 11372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9252 / 11372 ti = "16/9252/11372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9252/11372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9252 ÷ 216
    9252 ÷ 65536     		x = 0.14117431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11372 ÷ 216
    11372 ÷ 65536     		y = 0.17352294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14117431640625 × 2 - 1) × π
    -0.7176513671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.25456826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17352294921875 × 2 - 1) × π
    0.6529541015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.05131580854144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25456826} λ = -2.25456826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05131580854144))-π/2
    2×atan(7.7781289043679)-π/2
    2×1.44293211792989-π/2
    2.88586423585978-1.57079632675     		φ = 1.31506791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25456826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.177246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31506791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.347841°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9252 KachelY 11372 -2.25456826 1.31506791 -129.177246 75.347841
    Oben rechts KachelX + 1 9253 KachelY 11372 -2.25447239 1.31506791 -129.171753 75.347841
    Unten links KachelX 9252 KachelY + 1 11373 -2.25456826 1.31504366 -129.177246 75.346452
    Unten rechts KachelX + 1 9253 KachelY + 1 11373 -2.25447239 1.31504366 -129.171753 75.346452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31506791-1.31504366) × R
    2.42500000000589e-05 × 6371000     		dl = 154.496750000376m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31506791-1.31504366) × R
    2.42500000000589e-05 × 6371000     		dr = 154.496750000376m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25456826--2.25447239) × cos(1.31506791) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.252950203848858 × 6371000     		do = 154.498890929886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25456826--2.25447239) × cos(1.31504366) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.252973665147486 × 6371000     		du = 154.513220804156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31506791)-sin(1.31504366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.252950203848858-0.252973665147486)×R²
    abs(-2.25447239--2.25456826)×2.34612986280136e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.34612986280136e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.34612986280136e-05×40589641000000     		ar = 23870.68348836m²