Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9251 / 7565
↖ ↑ ↗
← N 13.645987°
E 23.269043°		 ← 2 374.31 m → N 13.645987°
E 23.291016°		 →
↑
2 374.41 m
↓
↑
2 374.41 m
↓
N 13.624633°
E 23.269043°		 ← 2 374.52 m →
5 637 834 m²		 N 13.624633°
E 23.291016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564666748046875 y=0.461761474609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564666748046875 × 214)
    floor (0.564666748046875 × 16384)
    floor (9251.5)     		tx = 9251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461761474609375 × 214)
    floor (0.461761474609375 × 16384)
    floor (7565.5)     		ty = 7565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9251 / 7565 ti = "14/9251/7565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9251/7565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9251 ÷ 214
    9251 ÷ 16384     		x = 0.56463623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7565 ÷ 214
    7565 ÷ 16384     		y = 0.46173095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56463623046875 × 2 - 1) × π
    0.1292724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40612141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46173095703125 × 2 - 1) × π
    0.0765380859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.240451488494202
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40612141} λ = 0.40612141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.240451488494202))-π/2
    2×atan(1.27182323427244)-π/2
    2×0.904481863195763-π/2
    1.80896372639153-1.57079632675     		φ = 0.23816740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40612141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.269043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23816740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.645987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9251 KachelY 7565 0.40612141 0.23816740 23.269043 13.645987
    Oben rechts KachelX + 1 9252 KachelY 7565 0.40650491 0.23816740 23.291016 13.645987
    Unten links KachelX 9251 KachelY + 1 7566 0.40612141 0.23779471 23.269043 13.624633
    Unten rechts KachelX + 1 9252 KachelY + 1 7566 0.40650491 0.23779471 23.291016 13.624633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23816740-0.23779471) × R
    0.000372690000000009 × 6371000     		dl = 2374.40799000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23816740-0.23779471) × R
    0.000372690000000009 × 6371000     		dr = 2374.40799000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40612141-0.40650491) × cos(0.23816740) × R
    0.000383499999999981 × 0.971771957360066 × 6371000     		do = 2374.30953032065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40612141-0.40650491) × cos(0.23779471) × R
    0.000383499999999981 × 0.971859815697206 × 6371000     		du = 2374.52419270683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23816740)-sin(0.23779471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971771957360066-0.971859815697206)×R²
    abs(0.40650491-0.40612141)×8.78583371396457e-05×R²
    0.000383499999999981×8.78583371396457e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.78583371396457e-05×40589641000000     		ar = 5637834.432826m²