Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9251 / 11299
↖ ↑ ↗
← S 56.206704°
E 23.269043°		 ← 1 358.95 m → S 56.206704°
E 23.291016°		 →
↑
1 358.68 m
↓
↑
1 358.68 m
↓
S 56.218923°
E 23.269043°		 ← 1 358.51 m →
1 846 080 m²		 S 56.218923°
E 23.291016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564666748046875 y=0.689666748046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564666748046875 × 214)
    floor (0.564666748046875 × 16384)
    floor (9251.5)     		tx = 9251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689666748046875 × 214)
    floor (0.689666748046875 × 16384)
    floor (11299.5)     		ty = 11299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9251 / 11299 ti = "14/9251/11299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9251/11299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9251 ÷ 214
    9251 ÷ 16384     		x = 0.56463623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11299 ÷ 214
    11299 ÷ 16384     		y = 0.68963623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56463623046875 × 2 - 1) × π
    0.1292724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40612141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68963623046875 × 2 - 1) × π
    -0.3792724609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.19151957695612
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40612141} λ = 0.40612141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19151957695612))-π/2
    2×atan(0.303759327507232)-π/2
    2×0.294902140328578-π/2
    0.589804280657155-1.57079632675     		φ = -0.98099205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40612141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.269043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98099205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.206704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9251 KachelY 11299 0.40612141 -0.98099205 23.269043 -56.206704
    Oben rechts KachelX + 1 9252 KachelY 11299 0.40650491 -0.98099205 23.291016 -56.206704
    Unten links KachelX 9251 KachelY + 1 11300 0.40612141 -0.98120531 23.269043 -56.218923
    Unten rechts KachelX + 1 9252 KachelY + 1 11300 0.40650491 -0.98120531 23.291016 -56.218923
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98099205--0.98120531) × R
    0.000213259999999993 × 6371000     		dl = 1358.67945999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98099205--0.98120531) × R
    0.000213259999999993 × 6371000     		dr = 1358.67945999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40612141-0.40650491) × cos(-0.98099205) × R
    0.000383499999999981 × 0.556198377884438 × 6371000     		do = 1358.94753841985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40612141-0.40650491) × cos(-0.98120531) × R
    0.000383499999999981 × 0.556021135609577 × 6371000     		du = 1358.5144861804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98099205)-sin(-0.98120531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556198377884438-0.556021135609577)×R²
    abs(0.40650491-0.40612141)×0.000177242274860823×R²
    0.000383499999999981×0.000177242274860823×6371000²
    0.000383499999999981×0.000177242274860823×40589641000000     		ar = 1846079.92507375m²