Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9250 / 7596
↖ ↑ ↗
← N 12.983147°
E 23.247070°		 ← 2 380.76 m → N 12.983147°
E 23.269043°		 →
↑
2 380.84 m
↓
↑
2 380.84 m
↓
N 12.961736°
E 23.247070°		 ← 2 380.96 m →
5 668 452 m²		 N 12.961736°
E 23.269043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564605712890625 y=0.463653564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564605712890625 × 214)
    floor (0.564605712890625 × 16384)
    floor (9250.5)     		tx = 9250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463653564453125 × 214)
    floor (0.463653564453125 × 16384)
    floor (7596.5)     		ty = 7596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9250 / 7596 ti = "14/9250/7596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9250/7596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9250 ÷ 214
    9250 ÷ 16384     		x = 0.5645751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7596 ÷ 214
    7596 ÷ 16384     		y = 0.463623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5645751953125 × 2 - 1) × π
    0.129150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40573792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463623046875 × 2 - 1) × π
    0.07275390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.228563137388428
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40573792} λ = 0.40573792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.228563137388428))-π/2
    2×atan(1.25679287324677)-π/2
    2×0.898697500859708-π/2
    1.79739500171942-1.57079632675     		φ = 0.22659867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40573792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.247070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22659867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.983147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9250 KachelY 7596 0.40573792 0.22659867 23.247070 12.983147
    Oben rechts KachelX + 1 9251 KachelY 7596 0.40612141 0.22659867 23.269043 12.983147
    Unten links KachelX 9250 KachelY + 1 7597 0.40573792 0.22622497 23.247070 12.961736
    Unten rechts KachelX + 1 9251 KachelY + 1 7597 0.40612141 0.22622497 23.269043 12.961736
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22659867-0.22622497) × R
    0.000373700000000005 × 6371000     		dl = 2380.84270000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22659867-0.22622497) × R
    0.000373700000000005 × 6371000     		dr = 2380.84270000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40573792-0.40612141) × cos(0.22659867) × R
    0.000383490000000042 × 0.97443618811023 × 6371000     		do = 2380.7569067024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40573792-0.40612141) × cos(0.22622497) × R
    0.000383490000000042 × 0.974520077172584 × 6371000     		du = 2380.96186570026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22659867)-sin(0.22622497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97443618811023-0.974520077172584)×R²
    abs(0.40612141-0.40573792)×8.38890623539035e-05×R²
    0.000383490000000042×8.38890623539035e-05×6371000²
    0.000383490000000042×8.38890623539035e-05×40589641000000     		ar = 5668451.75533136m²