Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9250 / 7071
↖ ↑ ↗
← N 23.905927°
E 23.247070°		 ← 2 233.62 m → N 23.905927°
E 23.269043°		 →
↑
2 233.86 m
↓
↑
2 233.86 m
↓
N 23.885838°
E 23.247070°		 ← 2 233.96 m →
4 989 982 m²		 N 23.885838°
E 23.269043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564605712890625 y=0.431610107421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564605712890625 × 214)
    floor (0.564605712890625 × 16384)
    floor (9250.5)     		tx = 9250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431610107421875 × 214)
    floor (0.431610107421875 × 16384)
    floor (7071.5)     		ty = 7071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9250 / 7071 ti = "14/9250/7071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9250/7071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9250 ÷ 214
    9250 ÷ 16384     		x = 0.5645751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7071 ÷ 214
    7071 ÷ 16384     		y = 0.43157958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5645751953125 × 2 - 1) × π
    0.129150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40573792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43157958984375 × 2 - 1) × π
    0.1368408203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.429898115792664
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40573792} λ = 0.40573792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.429898115792664))-π/2
    2×atan(1.53710090926242)-π/2
    2×0.994016731203238-π/2
    1.98803346240648-1.57079632675     		φ = 0.41723714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40573792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.247070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41723714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.905927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9250 KachelY 7071 0.40573792 0.41723714 23.247070 23.905927
    Oben rechts KachelX + 1 9251 KachelY 7071 0.40612141 0.41723714 23.269043 23.905927
    Unten links KachelX 9250 KachelY + 1 7072 0.40573792 0.41688651 23.247070 23.885838
    Unten rechts KachelX + 1 9251 KachelY + 1 7072 0.40612141 0.41688651 23.269043 23.885838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41723714-0.41688651) × R
    0.000350630000000018 × 6371000     		dl = 2233.86373000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41723714-0.41688651) × R
    0.000350630000000018 × 6371000     		dr = 2233.86373000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40573792-0.40612141) × cos(0.41723714) × R
    0.000383490000000042 × 0.914212038942139 × 6371000     		do = 2233.61637473973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40573792-0.40612141) × cos(0.41688651) × R
    0.000383490000000042 × 0.91435407069783 × 6371000     		du = 2233.96338882589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41723714)-sin(0.41688651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914212038942139-0.91435407069783)×R²
    abs(0.40612141-0.40573792)×0.000142031755691052×R²
    0.000383490000000042×0.000142031755691052×6371000²
    0.000383490000000042×0.000142031755691052×40589641000000     		ar = 4989982.2484794m²