Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 9250 / 17201
↖ ↑ ↗
← S  8.939340°
W 78.376465°		 ← 1 206.80 m → S  8.939340°
W 78.365479°		 →
↑
1 206.73 m
↓
↑
1 206.73 m
↓
S  8.950193°
W 78.376465°		 ← 1 206.76 m →
1 456 262 m²		 S  8.950193°
W 78.365479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282302856445312 y=0.524948120117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282302856445312 × 215)
    floor (0.282302856445312 × 32768)
    floor (9250.5)     		tx = 9250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524948120117188 × 215)
    floor (0.524948120117188 × 32768)
    floor (17201.5)     		ty = 17201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9250 / 17201 ti = "15/9250/17201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9250/17201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9250 ÷ 215
    9250 ÷ 32768     		x = 0.28228759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17201 ÷ 215
    17201 ÷ 32768     		y = 0.524932861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28228759765625 × 2 - 1) × π
    -0.4354248046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.36792737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524932861328125 × 2 - 1) × π
    -0.04986572265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.156657787958344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36792737} λ = -1.36792737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.156657787958344))-π/2
    2×atan(0.854996598891178)-π/2
    2×0.707387704497468-π/2
    1.41477540899494-1.57079632675     		φ = -0.15602092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36792737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.376465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15602092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.939340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9250 KachelY 17201 -1.36792737 -0.15602092 -78.376465 -8.939340
    Oben rechts KachelX + 1 9251 KachelY 17201 -1.36773562 -0.15602092 -78.365479 -8.939340
    Unten links KachelX 9250 KachelY + 1 17202 -1.36792737 -0.15621033 -78.376465 -8.950193
    Unten rechts KachelX + 1 9251 KachelY + 1 17202 -1.36773562 -0.15621033 -78.365479 -8.950193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15602092--0.15621033) × R
    0.000189410000000001 × 6371000     		dl = 1206.73111000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15602092--0.15621033) × R
    0.000189410000000001 × 6371000     		dr = 1206.73111000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36792737--1.36773562) × cos(-0.15602092) × R
    0.000191750000000157 × 0.987853406179529 × 6371000     		do = 1206.80049423609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36792737--1.36773562) × cos(-0.15621033) × R
    0.000191750000000157 × 0.987823956285965 × 6371000     		du = 1206.76451709021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15602092)-sin(-0.15621033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987853406179529-0.987823956285965)×R²
    abs(-1.36773562--1.36792737)×2.94498935637932e-05×R²
    0.000191750000000157×2.94498935637932e-05×6371000²
    0.000191750000000157×2.94498935637932e-05×40589641000000     		ar = 1456261.99694139m²