Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9250 / 11298
↖ ↑ ↗
← S 56.194481°
E 23.247070°		 ← 1 359.35 m → S 56.194481°
E 23.269043°		 →
↑
1 359.19 m
↓
↑
1 359.19 m
↓
S 56.206704°
E 23.247070°		 ← 1 358.91 m →
1 847 313 m²		 S 56.206704°
E 23.269043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564605712890625 y=0.689605712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564605712890625 × 214)
    floor (0.564605712890625 × 16384)
    floor (9250.5)     		tx = 9250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689605712890625 × 214)
    floor (0.689605712890625 × 16384)
    floor (11298.5)     		ty = 11298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9250 / 11298 ti = "14/9250/11298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9250/11298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9250 ÷ 214
    9250 ÷ 16384     		x = 0.5645751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11298 ÷ 214
    11298 ÷ 16384     		y = 0.6895751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5645751953125 × 2 - 1) × π
    0.129150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40573792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6895751953125 × 2 - 1) × π
    -0.379150390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.19113608175916
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40573792} λ = 0.40573792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19113608175916))-π/2
    2×atan(0.303875840089943)-π/2
    2×0.295008807028245-π/2
    0.590017614056491-1.57079632675     		φ = -0.98077871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40573792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.247070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98077871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.194481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9250 KachelY 11298 0.40573792 -0.98077871 23.247070 -56.194481
    Oben rechts KachelX + 1 9251 KachelY 11298 0.40612141 -0.98077871 23.269043 -56.194481
    Unten links KachelX 9250 KachelY + 1 11299 0.40573792 -0.98099205 23.247070 -56.206704
    Unten rechts KachelX + 1 9251 KachelY + 1 11299 0.40612141 -0.98099205 23.269043 -56.206704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98077871--0.98099205) × R
    0.000213339999999951 × 6371000     		dl = 1359.18913999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98077871--0.98099205) × R
    0.000213339999999951 × 6371000     		dr = 1359.18913999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40573792-0.40612141) × cos(-0.98077871) × R
    0.000383490000000042 × 0.556375661337964 × 6371000     		do = 1359.34524457709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40573792-0.40612141) × cos(-0.98099205) × R
    0.000383490000000042 × 0.556198377884438 × 6371000     		du = 1358.91210302142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98077871)-sin(-0.98099205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556375661337964-0.556198377884438)×R²
    abs(0.40612141-0.40573792)×0.000177283453526633×R²
    0.000383490000000042×0.000177283453526633×6371000²
    0.000383490000000042×0.000177283453526633×40589641000000     		ar = 1847312.94029725m²