Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9249 / 5149
↖ ↑ ↗
← N 76.768087°
W 78.387451°		 ← 279.62 m → N 76.768087°
W 78.376465°		 →
↑
279.62 m
↓
↑
279.62 m
↓
N 76.765572°
W 78.387451°		 ← 279.68 m →
78 197 m²		 N 76.765572°
W 78.376465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282272338867188 y=0.157150268554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282272338867188 × 215)
    floor (0.282272338867188 × 32768)
    floor (9249.5)     		tx = 9249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157150268554688 × 215)
    floor (0.157150268554688 × 32768)
    floor (5149.5)     		ty = 5149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9249 / 5149 ti = "15/9249/5149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9249/5149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9249 ÷ 215
    9249 ÷ 32768     		x = 0.282257080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5149 ÷ 215
    5149 ÷ 32768     		y = 0.157135009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282257080078125 × 2 - 1) × π
    -0.43548583984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.36811912
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157135009765625 × 2 - 1) × π
    0.68572998046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15428426892532
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36811912} λ = -1.36811912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15428426892532))-π/2
    2×atan(8.62171713924047)-π/2
    2×1.45532610538608-π/2
    2.91065221077215-1.57079632675     		φ = 1.33985588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36811912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.387451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33985588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.768087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9249 KachelY 5149 -1.36811912 1.33985588 -78.387451 76.768087
    Oben rechts KachelX + 1 9250 KachelY 5149 -1.36792737 1.33985588 -78.376465 76.768087
    Unten links KachelX 9249 KachelY + 1 5150 -1.36811912 1.33981199 -78.387451 76.765572
    Unten rechts KachelX + 1 9250 KachelY + 1 5150 -1.36792737 1.33981199 -78.376465 76.765572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33985588-1.33981199) × R
    4.38899999999354e-05 × 6371000     		dl = 279.623189999588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33985588-1.33981199) × R
    4.38899999999354e-05 × 6371000     		dr = 279.623189999588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36811912--1.36792737) × cos(1.33985588) × R
    0.000191749999999935 × 0.228893104024459 × 6371000     		do = 279.624799930518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36811912--1.36792737) × cos(1.33981199) × R
    0.000191749999999935 × 0.228935828593116 × 6371000     		du = 279.676993940528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33985588)-sin(1.33981199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228893104024459-0.228935828593116)×R²
    abs(-1.36792737--1.36811912)×4.27245686563105e-05×R²
    0.000191749999999935×4.27245686563105e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.27245686563105e-05×40589641000000     		ar = 78196.8758998766m²