Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9246 / 7088
↖ ↑ ↗
← N 23.563987°
E 23.159180°		 ← 2 239.49 m → N 23.563987°
E 23.181152°		 →
↑
2 239.66 m
↓
↑
2 239.66 m
↓
N 23.543845°
E 23.159180°		 ← 2 239.83 m →
5 016 073 m²		 N 23.543845°
E 23.181152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564361572265625 y=0.432647705078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564361572265625 × 214)
    floor (0.564361572265625 × 16384)
    floor (9246.5)     		tx = 9246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432647705078125 × 214)
    floor (0.432647705078125 × 16384)
    floor (7088.5)     		ty = 7088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9246 / 7088 ti = "14/9246/7088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9246/7088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9246 ÷ 214
    9246 ÷ 16384     		x = 0.5643310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7088 ÷ 214
    7088 ÷ 16384     		y = 0.4326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5643310546875 × 2 - 1) × π
    0.128662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40420394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4326171875 × 2 - 1) × π
    0.134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.423378697444336
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40420394} λ = 0.40420394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.423378697444336))-π/2
    2×atan(1.52711250007833)-π/2
    2×0.991032743536421-π/2
    1.98206548707284-1.57079632675     		φ = 0.41126916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40420394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.159180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41126916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.563987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9246 KachelY 7088 0.40420394 0.41126916 23.159180 23.563987
    Oben rechts KachelX + 1 9247 KachelY 7088 0.40458743 0.41126916 23.181152 23.563987
    Unten links KachelX 9246 KachelY + 1 7089 0.40420394 0.41091762 23.159180 23.543845
    Unten rechts KachelX + 1 9247 KachelY + 1 7089 0.40458743 0.41091762 23.181152 23.543845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41126916-0.41091762) × R
    0.000351540000000039 × 6371000     		dl = 2239.66134000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41126916-0.41091762) × R
    0.000351540000000039 × 6371000     		dr = 2239.66134000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40420394-0.40458743) × cos(0.41126916) × R
    0.000383490000000042 × 0.916614185303787 × 6371000     		do = 2239.48533425826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40420394-0.40458743) × cos(0.41091762) × R
    0.000383490000000042 × 0.916754664856417 × 6371000     		du = 2239.82855597894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41126916)-sin(0.41091762))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916614185303787-0.916754664856417)×R²
    abs(0.40458743-0.40420394)×0.000140479552629635×R²
    0.000383490000000042×0.000140479552629635×6371000²
    0.000383490000000042×0.000140479552629635×40589641000000     		ar = 5016073.12650243m²