Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9245 / 17206
↖ ↑ ↗
← S  8.993600°
W 78.431397°		 ← 1 206.62 m → S  8.993600°
W 78.420410°		 →
↑
1 206.60 m
↓
↑
1 206.60 m
↓
S  9.004452°
W 78.431397°		 ← 1 206.58 m →
1 455 891 m²		 S  9.004452°
W 78.420410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282150268554688 y=0.525100708007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282150268554688 × 215)
    floor (0.282150268554688 × 32768)
    floor (9245.5)     		tx = 9245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525100708007812 × 215)
    floor (0.525100708007812 × 32768)
    floor (17206.5)     		ty = 17206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9245 / 17206 ti = "15/9245/17206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9245/17206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9245 ÷ 215
    9245 ÷ 32768     		x = 0.282135009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17206 ÷ 215
    17206 ÷ 32768     		y = 0.52508544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282135009765625 × 2 - 1) × π
    -0.43572998046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.36888611
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52508544921875 × 2 - 1) × π
    -0.0501708984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.157616525950745
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36888611} λ = -1.36888611}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.157616525950745))-π/2
    2×atan(0.854177273990162)-π/2
    2×0.706914193544385-π/2
    1.41382838708877-1.57079632675     		φ = -0.15696794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36888611} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.431397°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15696794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.993600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9245 KachelY 17206 -1.36888611 -0.15696794 -78.431397 -8.993600
    Oben rechts KachelX + 1 9246 KachelY 17206 -1.36869436 -0.15696794 -78.420410 -8.993600
    Unten links KachelX 9245 KachelY + 1 17207 -1.36888611 -0.15715733 -78.431397 -9.004452
    Unten rechts KachelX + 1 9246 KachelY + 1 17207 -1.36869436 -0.15715733 -78.420410 -9.004452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15696794--0.15715733) × R
    0.000189390000000011 × 6371000     		dl = 1206.60369000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15696794--0.15715733) × R
    0.000189390000000011 × 6371000     		dr = 1206.60369000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36888611--1.36869436) × cos(-0.15696794) × R
    0.000191749999999935 × 0.987705807018834 × 6371000     		do = 1206.62018130672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36888611--1.36869436) × cos(-0.15715733) × R
    0.000191749999999935 × 0.987676183075106 × 6371000     		du = 1206.58399153433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15696794)-sin(-0.15715733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987705807018834-0.987676183075106)×R²
    abs(-1.36869436--1.36888611)×2.96239437284074e-05×R²
    0.000191749999999935×2.96239437284074e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.96239437284074e-05×40589641000000     		ar = 1455890.5341886m²