Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9244 / 7661
↖ ↑ ↗
← N 11.587669°
E 23.115235°		 ← 2 393.42 m → N 11.587669°
E 23.137207°		 →
↑
2 393.52 m
↓
↑
2 393.52 m
↓
N 11.566144°
E 23.115235°		 ← 2 393.60 m →
5 728 918 m²		 N 11.566144°
E 23.137207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564239501953125 y=0.467620849609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564239501953125 × 214)
    floor (0.564239501953125 × 16384)
    floor (9244.5)     		tx = 9244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467620849609375 × 214)
    floor (0.467620849609375 × 16384)
    floor (7661.5)     		ty = 7661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9244 / 7661 ti = "14/9244/7661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9244/7661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9244 ÷ 214
    9244 ÷ 16384     		x = 0.564208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7661 ÷ 214
    7661 ÷ 16384     		y = 0.46759033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564208984375 × 2 - 1) × π
    0.12841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40343695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46759033203125 × 2 - 1) × π
    0.0648193359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.203635949585999
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40343695} λ = 0.40343695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.203635949585999))-π/2
    2×atan(1.2258518003582)-π/2
    2×0.886519655373343-π/2
    1.77303931074669-1.57079632675     		φ = 0.20224298
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40343695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.115235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20224298 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.587669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9244 KachelY 7661 0.40343695 0.20224298 23.115235 11.587669
    Oben rechts KachelX + 1 9245 KachelY 7661 0.40382044 0.20224298 23.137207 11.587669
    Unten links KachelX 9244 KachelY + 1 7662 0.40343695 0.20186729 23.115235 11.566144
    Unten rechts KachelX + 1 9245 KachelY + 1 7662 0.40382044 0.20186729 23.137207 11.566144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20224298-0.20186729) × R
    0.000375689999999984 × 6371000     		dl = 2393.5209899999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20224298-0.20186729) × R
    0.000375689999999984 × 6371000     		dr = 2393.5209899999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40343695-0.40382044) × cos(0.20224298) × R
    0.000383489999999986 × 0.979618501542808 × 6371000     		do = 2393.41841152694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40343695-0.40382044) × cos(0.20186729) × R
    0.000383489999999986 × 0.979693896168297 × 6371000     		du = 2393.60261679102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20224298)-sin(0.20186729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979618501542808-0.979693896168297)×R²
    abs(0.40382044-0.40343695)×7.53946254895554e-05×R²
    0.000383489999999986×7.53946254895554e-05×6371000²
    0.000383489999999986×7.53946254895554e-05×40589641000000     		ar = 5728917.72280821m²