Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9244 / 11307
↖ ↑ ↗
← S 56.304349°
E 23.115235°		 ← 1 355.45 m → S 56.304349°
E 23.137207°		 →
↑
1 355.24 m
↓
↑
1 355.24 m
↓
S 56.316537°
E 23.115235°		 ← 1 355.02 m →
1 836 666 m²		 S 56.316537°
E 23.137207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564239501953125 y=0.690155029296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564239501953125 × 214)
    floor (0.564239501953125 × 16384)
    floor (9244.5)     		tx = 9244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690155029296875 × 214)
    floor (0.690155029296875 × 16384)
    floor (11307.5)     		ty = 11307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9244 / 11307 ti = "14/9244/11307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9244/11307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9244 ÷ 214
    9244 ÷ 16384     		x = 0.564208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11307 ÷ 214
    11307 ÷ 16384     		y = 0.69012451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564208984375 × 2 - 1) × π
    0.12841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40343695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69012451171875 × 2 - 1) × π
    -0.3802490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.1945875385318
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40343695} λ = 0.40343695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1945875385318))-π/2
    2×atan(0.302828833651729)-π/2
    2×0.29405002985502-π/2
    0.58810005971004-1.57079632675     		φ = -0.98269627
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40343695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.115235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98269627 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.304349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9244 KachelY 11307 0.40343695 -0.98269627 23.115235 -56.304349
    Oben rechts KachelX + 1 9245 KachelY 11307 0.40382044 -0.98269627 23.137207 -56.304349
    Unten links KachelX 9244 KachelY + 1 11308 0.40343695 -0.98290899 23.115235 -56.316537
    Unten rechts KachelX + 1 9245 KachelY + 1 11308 0.40382044 -0.98290899 23.137207 -56.316537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98269627--0.98290899) × R
    0.000212719999999944 × 6371000     		dl = 1355.23911999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98269627--0.98290899) × R
    0.000212719999999944 × 6371000     		dr = 1355.23911999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40343695-0.40382044) × cos(-0.98269627) × R
    0.000383489999999986 × 0.554781279594194 × 6371000     		do = 1355.44982751961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40343695-0.40382044) × cos(-0.98290899) × R
    0.000383489999999986 × 0.554604284804963 × 6371000     		du = 1355.01739123281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98269627)-sin(-0.98290899))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554781279594194-0.554604284804963)×R²
    abs(0.40382044-0.40343695)×0.000176994789230389×R²
    0.000383489999999986×0.000176994789230389×6371000²
    0.000383489999999986×0.000176994789230389×40589641000000     		ar = 1836665.61109131m²