Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9243 / 17213
↖ ↑ ↗
← S  9.069551°
W 78.453369°		 ← 1 206.37 m → S  9.069551°
W 78.442383°		 →
↑
1 206.35 m
↓
↑
1 206.35 m
↓
S  9.080400°
W 78.453369°		 ← 1 206.33 m →
1 455 276 m²		 S  9.080400°
W 78.442383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282089233398438 y=0.525314331054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282089233398438 × 215)
    floor (0.282089233398438 × 32768)
    floor (9243.5)     		tx = 9243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525314331054688 × 215)
    floor (0.525314331054688 × 32768)
    floor (17213.5)     		ty = 17213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9243 / 17213 ti = "15/9243/17213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9243/17213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9243 ÷ 215
    9243 ÷ 32768     		x = 0.282073974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17213 ÷ 215
    17213 ÷ 32768     		y = 0.525299072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282073974609375 × 2 - 1) × π
    -0.43585205078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.36926960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525299072265625 × 2 - 1) × π
    -0.05059814453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.158958759140106
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36926960} λ = -1.36926960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.158958759140106))-π/2
    2×atan(0.853031537997863)-π/2
    2×0.70625139751825-π/2
    1.4125027950365-1.57079632675     		φ = -0.15829353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36926960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.453369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15829353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.069551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9243 KachelY 17213 -1.36926960 -0.15829353 -78.453369 -9.069551
    Oben rechts KachelX + 1 9244 KachelY 17213 -1.36907785 -0.15829353 -78.442383 -9.069551
    Unten links KachelX 9243 KachelY + 1 17214 -1.36926960 -0.15848288 -78.453369 -9.080400
    Unten rechts KachelX + 1 9244 KachelY + 1 17214 -1.36907785 -0.15848288 -78.442383 -9.080400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15829353--0.15848288) × R
    0.000189350000000005 × 6371000     		dl = 1206.34885000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15829353--0.15848288) × R
    0.000189350000000005 × 6371000     		dr = 1206.34885000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36926960--1.36907785) × cos(-0.15829353) × R
    0.000191749999999935 × 0.987497717561466 × 6371000     		do = 1206.36597105809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36926960--1.36907785) × cos(-0.15848288) × R
    0.000191749999999935 × 0.987467851993377 × 6371000     		du = 1206.32948610789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15829353)-sin(-0.15848288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987497717561466-0.987467851993377)×R²
    abs(-1.36907785--1.36926960)×2.9865568088594e-05×R²
    0.000191749999999935×2.9865568088594e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.9865568088594e-05×40589641000000     		ar = 1455276.1994244m²