Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9241 / 25689
↖ ↑ ↗
← S 70.934592°
W 78.475342°		 ← 399.05 m → S 70.934592°
W 78.464356°		 →
↑
399.02 m
↓
↑
399.02 m
↓
S 70.938181°
W 78.475342°		 ← 398.97 m →
159 211 m²		 S 70.938181°
W 78.464356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282028198242188 y=0.783981323242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282028198242188 × 215)
    floor (0.282028198242188 × 32768)
    floor (9241.5)     		tx = 9241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783981323242188 × 215)
    floor (0.783981323242188 × 32768)
    floor (25689.5)     		ty = 25689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9241 / 25689 ti = "15/9241/25689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9241/25689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9241 ÷ 215
    9241 ÷ 32768     		x = 0.282012939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25689 ÷ 215
    25689 ÷ 32768     		y = 0.783966064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282012939453125 × 2 - 1) × π
    -0.43597412109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.36965310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783966064453125 × 2 - 1) × π
    -0.56793212890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.78421140385849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36965310} λ = -1.36965310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78421140385849))-π/2
    2×atan(0.167929437303908)-π/2
    2×0.166377066955975-π/2
    0.33275413391195-1.57079632675     		φ = -1.23804219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36965310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.475342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23804219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.934592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9241 KachelY 25689 -1.36965310 -1.23804219 -78.475342 -70.934592
    Oben rechts KachelX + 1 9242 KachelY 25689 -1.36946135 -1.23804219 -78.464356 -70.934592
    Unten links KachelX 9241 KachelY + 1 25690 -1.36965310 -1.23810482 -78.475342 -70.938181
    Unten rechts KachelX + 1 9242 KachelY + 1 25690 -1.36946135 -1.23810482 -78.464356 -70.938181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23804219--1.23810482) × R
    6.26299999999524e-05 × 6371000     		dl = 399.015729999697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23804219--1.23810482) × R
    6.26299999999524e-05 × 6371000     		dr = 399.015729999697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36965310--1.36946135) × cos(-1.23804219) × R
    0.000191750000000157 × 0.326647326152699 × 6371000     		do = 399.045194536016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36965310--1.36946135) × cos(-1.23810482) × R
    0.000191750000000157 × 0.326588130999465 × 6371000     		du = 398.972879413415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23804219)-sin(-1.23810482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326647326152699-0.326588130999465)×R²
    abs(-1.36946135--1.36965310)×5.91951532347146e-05×R²
    0.000191750000000157×5.91951532347146e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.91951532347146e-05×40589641000000     		ar = 159210.882217372m²