Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9240 / 11352
↖ ↑ ↗
← N 75.375605°
W129.243164°		 ← 154.23 m → N 75.375605°
W129.237671°		 →
↑
154.24 m
↓
↑
154.24 m
↓
N 75.374218°
W129.243164°		 ← 154.24 m →
23 790 m²		 N 75.374218°
W129.237671°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140998840332031 y=0.173225402832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140998840332031 × 216)
    floor (0.140998840332031 × 65536)
    floor (9240.5)     		tx = 9240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.173225402832031 × 216)
    floor (0.173225402832031 × 65536)
    floor (11352.5)     		ty = 11352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9240 / 11352 ti = "16/9240/11352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9240/11352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9240 ÷ 216
    9240 ÷ 65536     		x = 0.1409912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11352 ÷ 216
    11352 ÷ 65536     		y = 0.1732177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1409912109375 × 2 - 1) × π
    -0.718017578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.25571875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1732177734375 × 2 - 1) × π
    0.653564453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.05323328452625
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25571875} λ = -2.25571875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05323328452625))-π/2
    2×atan(7.79305758787073)-π/2
    2×1.44317440608579-π/2
    2.88634881217159-1.57079632675     		φ = 1.31555249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25571875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.243164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31555249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.375605°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9240 KachelY 11352 -2.25571875 1.31555249 -129.243164 75.375605
    Oben rechts KachelX + 1 9241 KachelY 11352 -2.25562287 1.31555249 -129.237671 75.375605
    Unten links KachelX 9240 KachelY + 1 11353 -2.25571875 1.31552828 -129.243164 75.374218
    Unten rechts KachelX + 1 9241 KachelY + 1 11353 -2.25562287 1.31552828 -129.237671 75.374218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31555249-1.31552828) × R
    2.4209999999858e-05 × 6371000     		dl = 154.241909999095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31555249-1.31552828) × R
    2.4209999999858e-05 × 6371000     		dr = 154.241909999095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25571875--2.25562287) × cos(1.31555249) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.2524813530498 × 6371000     		do = 154.228608183486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25571875--2.25562287) × cos(1.31552828) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.25250477861442 × 6371000     		du = 154.242917724304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31555249)-sin(1.31552828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.2524813530498-0.25250477861442)×R²
    abs(-2.25562287--2.25571875)×2.34255646195947e-05×R²
    9.58800000003812e-05×2.34255646195947e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×2.34255646195947e-05×40589641000000     		ar = 23789.6186692718m²