Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9240 / 11348
↖ ↑ ↗
← N 75.381152°
W129.243164°		 ← 154.17 m → N 75.381152°
W129.237671°		 →
↑
154.18 m
↓
↑
154.18 m
↓
N 75.379765°
W129.243164°		 ← 154.19 m →
23 771 m²		 N 75.379765°
W129.237671°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140998840332031 y=0.173164367675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140998840332031 × 216)
    floor (0.140998840332031 × 65536)
    floor (9240.5)     		tx = 9240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.173164367675781 × 216)
    floor (0.173164367675781 × 65536)
    floor (11348.5)     		ty = 11348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9240 / 11348 ti = "16/9240/11348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9240/11348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9240 ÷ 216
    9240 ÷ 65536     		x = 0.1409912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11348 ÷ 216
    11348 ÷ 65536     		y = 0.17315673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1409912109375 × 2 - 1) × π
    -0.718017578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.25571875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17315673828125 × 2 - 1) × π
    0.6536865234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.05361677972321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25571875} λ = -2.25571875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05361677972321))-π/2
    2×atan(7.79604676115548)-π/2
    2×1.44322280979853-π/2
    2.88644561959706-1.57079632675     		φ = 1.31564929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25571875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.243164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31564929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.381152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9240 KachelY 11348 -2.25571875 1.31564929 -129.243164 75.381152
    Oben rechts KachelX + 1 9241 KachelY 11348 -2.25562287 1.31564929 -129.237671 75.381152
    Unten links KachelX 9240 KachelY + 1 11349 -2.25571875 1.31562509 -129.243164 75.379765
    Unten rechts KachelX + 1 9241 KachelY + 1 11349 -2.25562287 1.31562509 -129.237671 75.379765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31564929-1.31562509) × R
    2.42000000001408e-05 × 6371000     		dl = 154.178200000897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31564929-1.31562509) × R
    2.42000000001408e-05 × 6371000     		dr = 154.178200000897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25571875--2.25562287) × cos(1.31564929) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.252387688016652 × 6371000     		do = 154.171392759363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25571875--2.25562287) × cos(1.31562509) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.252411104496686 × 6371000     		du = 154.185696750848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31564929)-sin(1.31562509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.252387688016652-0.252411104496686)×R²
    abs(-2.25562287--2.25571875)×2.34164800337888e-05×R²
    9.58800000003812e-05×2.34164800337888e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×2.34164800337888e-05×40589641000000     		ar = 23770.9705100783m²