Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 9239 / 17194
↖ ↑ ↗
← S  8.863362°
W 78.497314°		 ← 1 207.05 m → S  8.863362°
W 78.486328°		 →
↑
1 207.05 m
↓
↑
1 207.05 m
↓
S  8.874217°
W 78.497314°		 ← 1 207.02 m →
1 456 949 m²		 S  8.874217°
W 78.486328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281967163085938 y=0.524734497070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281967163085938 × 215)
    floor (0.281967163085938 × 32768)
    floor (9239.5)     		tx = 9239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524734497070312 × 215)
    floor (0.524734497070312 × 32768)
    floor (17194.5)     		ty = 17194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9239 / 17194 ti = "15/9239/17194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9239/17194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9239 ÷ 215
    9239 ÷ 32768     		x = 0.281951904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17194 ÷ 215
    17194 ÷ 32768     		y = 0.52471923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281951904296875 × 2 - 1) × π
    -0.43609619140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.37003659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52471923828125 × 2 - 1) × π
    -0.0494384765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.155315554768982
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37003659} λ = -1.37003659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.155315554768982))-π/2
    2×atan(0.856144974224336)-π/2
    2×0.708050738258773-π/2
    1.41610147651755-1.57079632675     		φ = -0.15469485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37003659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.497314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15469485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.863362°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9239 KachelY 17194 -1.37003659 -0.15469485 -78.497314 -8.863362
    Oben rechts KachelX + 1 9240 KachelY 17194 -1.36984484 -0.15469485 -78.486328 -8.863362
    Unten links KachelX 9239 KachelY + 1 17195 -1.37003659 -0.15488431 -78.497314 -8.874217
    Unten rechts KachelX + 1 9240 KachelY + 1 17195 -1.36984484 -0.15488431 -78.486328 -8.874217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15469485--0.15488431) × R
    0.000189460000000002 × 6371000     		dl = 1207.04966000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15469485--0.15488431) × R
    0.000189460000000002 × 6371000     		dr = 1207.04966000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37003659--1.36984484) × cos(-0.15469485) × R
    0.000191749999999935 × 0.988058593860709 × 6371000     		do = 1207.05115955964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37003659--1.36984484) × cos(-0.15488431) × R
    0.000191749999999935 × 0.988029384396027 × 6371000     		du = 1207.01547613111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15469485)-sin(-0.15488431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988058593860709-0.988029384396027)×R²
    abs(-1.36984484--1.37003659)×2.92094646819896e-05×R²
    0.000191749999999935×2.92094646819896e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.92094646819896e-05×40589641000000     		ar = 1456949.16027215m²