Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9239 / 11349
↖ ↑ ↗
← N 75.379765°
W129.248657°		 ← 154.17 m → N 75.379765°
W129.243164°		 →
↑
154.18 m
↓
↑
154.18 m
↓
N 75.378379°
W129.248657°		 ← 154.18 m →
23 771 m²		 N 75.378379°
W129.243164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140983581542969 y=0.173179626464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140983581542969 × 216)
    floor (0.140983581542969 × 65536)
    floor (9239.5)     		tx = 9239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.173179626464844 × 216)
    floor (0.173179626464844 × 65536)
    floor (11349.5)     		ty = 11349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9239 / 11349 ti = "16/9239/11349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9239/11349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9239 ÷ 216
    9239 ÷ 65536     		x = 0.140975952148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11349 ÷ 216
    11349 ÷ 65536     		y = 0.173171997070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140975952148438 × 2 - 1) × π
    -0.718048095703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.25581462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.173171997070312 × 2 - 1) × π
    0.653656005859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.05352090592397
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25581462} λ = -2.25581462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05352090592397))-π/2
    2×atan(7.79529936036208)-π/2
    2×1.44321071055418-π/2
    2.88642142110836-1.57079632675     		φ = 1.31562509
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25581462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.248657°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31562509 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.379765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9239 KachelY 11349 -2.25581462 1.31562509 -129.248657 75.379765
    Oben rechts KachelX + 1 9240 KachelY 11349 -2.25571875 1.31562509 -129.243164 75.379765
    Unten links KachelX 9239 KachelY + 1 11350 -2.25581462 1.31560089 -129.248657 75.378379
    Unten rechts KachelX + 1 9240 KachelY + 1 11350 -2.25571875 1.31560089 -129.243164 75.378379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31562509-1.31560089) × R
    2.41999999999187e-05 × 6371000     		dl = 154.178199999482m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31562509-1.31560089) × R
    2.41999999999187e-05 × 6371000     		dr = 154.178199999482m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25581462--2.25571875) × cos(1.31562509) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.252411104496686 × 6371000     		do = 154.169615638765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25581462--2.25571875) × cos(1.31560089) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.252434520828898 × 6371000     		du = 154.183918048098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31562509)-sin(1.31560089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.252411104496686-0.252434520828898)×R²
    abs(-2.25571875--2.25581462)×2.34163322115344e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.34163322115344e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.34163322115344e-05×40589641000000     		ar = 23770.6963948971m²