Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9238 / 25687
↖ ↑ ↗
← S 70.927414°
W 78.508301°		 ← 399.19 m → S 70.927414°
W 78.497314°		 →
↑
399.14 m
↓
↑
399.14 m
↓
S 70.931003°
W 78.508301°		 ← 399.12 m →
159 319 m²		 S 70.931003°
W 78.497314°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281936645507812 y=0.783920288085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281936645507812 × 215)
    floor (0.281936645507812 × 32768)
    floor (9238.5)     		tx = 9238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783920288085938 × 215)
    floor (0.783920288085938 × 32768)
    floor (25687.5)     		ty = 25687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9238 / 25687 ti = "15/9238/25687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9238/25687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9238 ÷ 215
    9238 ÷ 32768     		x = 0.28192138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25687 ÷ 215
    25687 ÷ 32768     		y = 0.783905029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28192138671875 × 2 - 1) × π
    -0.4361572265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.37022834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783905029296875 × 2 - 1) × π
    -0.56781005859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.78382790866153
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37022834} λ = -1.37022834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78382790866153))-π/2
    2×atan(0.167993849786692)-π/2
    2×0.166439712148101-π/2
    0.332879424296203-1.57079632675     		φ = -1.23791690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37022834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.508301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23791690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.927414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9238 KachelY 25687 -1.37022834 -1.23791690 -78.508301 -70.927414
    Oben rechts KachelX + 1 9239 KachelY 25687 -1.37003659 -1.23791690 -78.497314 -70.927414
    Unten links KachelX 9238 KachelY + 1 25688 -1.37022834 -1.23797955 -78.508301 -70.931003
    Unten rechts KachelX + 1 9239 KachelY + 1 25688 -1.37003659 -1.23797955 -78.497314 -70.931003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23791690--1.23797955) × R
    6.26499999998309e-05 × 6371000     		dl = 399.143149998923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23791690--1.23797955) × R
    6.26499999998309e-05 × 6371000     		dr = 399.143149998923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37022834--1.37003659) × cos(-1.23791690) × R
    0.000191749999999935 × 0.326765740968259 × 6371000     		do = 399.189854722023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37022834--1.37003659) × cos(-1.23797955) × R
    0.000191749999999935 × 0.326706529475913 × 6371000     		du = 399.117519638922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23791690)-sin(-1.23797955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326765740968259-0.326706529475913)×R²
    abs(-1.37003659--1.37022834)×5.92114923457787e-05×R²
    0.000191749999999935×5.92114923457787e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.92114923457787e-05×40589641000000     		ar = 159319.460086843m²