Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9238 / 17209
↖ ↑ ↗
← S  9.026153°
W 78.508301°		 ← 1 206.51 m → S  9.026153°
W 78.497314°		 →
↑
1 206.54 m
↓
↑
1 206.54 m
↓
S  9.037003°
W 78.508301°		 ← 1 206.48 m →
1 455 682 m²		 S  9.037003°
W 78.497314°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281936645507812 y=0.525192260742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281936645507812 × 215)
    floor (0.281936645507812 × 32768)
    floor (9238.5)     		tx = 9238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525192260742188 × 215)
    floor (0.525192260742188 × 32768)
    floor (17209.5)     		ty = 17209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9238 / 17209 ti = "15/9238/17209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9238/17209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9238 ÷ 215
    9238 ÷ 32768     		x = 0.28192138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17209 ÷ 215
    17209 ÷ 32768     		y = 0.525177001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28192138671875 × 2 - 1) × π
    -0.4361572265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.37022834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525177001953125 × 2 - 1) × π
    -0.05035400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.158191768746185
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37022834} λ = -1.37022834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.158191768746185))-π/2
    2×atan(0.85368605596563)-π/2
    2×0.706630121007613-π/2
    1.41326024201523-1.57079632675     		φ = -0.15753608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37022834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.508301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15753608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.026153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9238 KachelY 17209 -1.37022834 -0.15753608 -78.508301 -9.026153
    Oben rechts KachelX + 1 9239 KachelY 17209 -1.37003659 -0.15753608 -78.497314 -9.026153
    Unten links KachelX 9238 KachelY + 1 17210 -1.37022834 -0.15772546 -78.508301 -9.037003
    Unten rechts KachelX + 1 9239 KachelY + 1 17210 -1.37003659 -0.15772546 -78.497314 -9.037003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15753608--0.15772546) × R
    0.000189380000000017 × 6371000     		dl = 1206.53998000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15753608--0.15772546) × R
    0.000189380000000017 × 6371000     		dr = 1206.53998000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37022834--1.37003659) × cos(-0.15753608) × R
    0.000191749999999935 × 0.987616833615669 × 6371000     		do = 1206.51148790521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37022834--1.37003659) × cos(-0.15772546) × R
    0.000191749999999935 × 0.987587104971865 × 6371000     		du = 1206.47517022709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15753608)-sin(-0.15772546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987616833615669-0.987587104971865)×R²
    abs(-1.37003659--1.37022834)×2.97286438041278e-05×R²
    0.000191749999999935×2.97286438041278e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.97286438041278e-05×40589641000000     		ar = 1455682.4414724m²