Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9238 / 17195
↖ ↑ ↗
← S  8.874217°
W 78.508301°		 ← 1 207.02 m → S  8.874217°
W 78.497314°		 →
↑
1 206.92 m
↓
↑
1 206.92 m
↓
S  8.885071°
W 78.508301°		 ← 1 206.98 m →
1 456 752 m²		 S  8.885071°
W 78.497314°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281936645507812 y=0.524765014648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281936645507812 × 215)
    floor (0.281936645507812 × 32768)
    floor (9238.5)     		tx = 9238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524765014648438 × 215)
    floor (0.524765014648438 × 32768)
    floor (17195.5)     		ty = 17195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9238 / 17195 ti = "15/9238/17195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9238/17195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9238 ÷ 215
    9238 ÷ 32768     		x = 0.28192138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17195 ÷ 215
    17195 ÷ 32768     		y = 0.524749755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28192138671875 × 2 - 1) × π
    -0.4361572265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.37022834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524749755859375 × 2 - 1) × π
    -0.04949951171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.155507302367462
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37022834} λ = -1.37022834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.155507302367462))-π/2
    2×atan(0.855980826219573)-π/2
    2×0.70795601072741-π/2
    1.41591202145482-1.57079632675     		φ = -0.15488431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37022834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.508301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15488431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.874217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9238 KachelY 17195 -1.37022834 -0.15488431 -78.508301 -8.874217
    Oben rechts KachelX + 1 9239 KachelY 17195 -1.37003659 -0.15488431 -78.497314 -8.874217
    Unten links KachelX 9238 KachelY + 1 17196 -1.37022834 -0.15507375 -78.508301 -8.885071
    Unten rechts KachelX + 1 9239 KachelY + 1 17196 -1.37003659 -0.15507375 -78.497314 -8.885071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15488431--0.15507375) × R
    0.000189440000000013 × 6371000     		dl = 1206.92224000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15488431--0.15507375) × R
    0.000189440000000013 × 6371000     		dr = 1206.92224000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37022834--1.37003659) × cos(-0.15488431) × R
    0.000191749999999935 × 0.988029384396027 × 6371000     		do = 1207.01547613111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37022834--1.37003659) × cos(-0.15507375) × R
    0.000191749999999935 × 0.988000142554999 × 6371000     		du = 1206.97975315037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15488431)-sin(-0.15507375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988029384396027-0.988000142554999)×R²
    abs(-1.37003659--1.37022834)×2.92418410275941e-05×R²
    0.000191749999999935×2.92418410275941e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.92418410275941e-05×40589641000000     		ar = 1456752.26909354m²