Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9237 / 17210
↖ ↑ ↗
← S  9.037003°
W 78.519287°		 ← 1 206.48 m → S  9.037003°
W 78.508301°		 →
↑
1 206.41 m
↓
↑
1 206.41 m
↓
S  9.047853°
W 78.519287°		 ← 1 206.44 m →
1 455 485 m²		 S  9.047853°
W 78.508301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281906127929688 y=0.525222778320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281906127929688 × 215)
    floor (0.281906127929688 × 32768)
    floor (9237.5)     		tx = 9237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525222778320312 × 215)
    floor (0.525222778320312 × 32768)
    floor (17210.5)     		ty = 17210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9237 / 17210 ti = "15/9237/17210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9237/17210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9237 ÷ 215
    9237 ÷ 32768     		x = 0.281890869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17210 ÷ 215
    17210 ÷ 32768     		y = 0.52520751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281890869140625 × 2 - 1) × π
    -0.43621826171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.37042009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52520751953125 × 2 - 1) × π
    -0.0504150390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.158383516344666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37042009} λ = -1.37042009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.158383516344666))-π/2
    2×atan(0.853522379407337)-π/2
    2×0.706535435854403-π/2
    1.41307087170881-1.57079632675     		φ = -0.15772546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37042009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.519287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15772546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.037003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9237 KachelY 17210 -1.37042009 -0.15772546 -78.519287 -9.037003
    Oben rechts KachelX + 1 9238 KachelY 17210 -1.37022834 -0.15772546 -78.508301 -9.037003
    Unten links KachelX 9237 KachelY + 1 17211 -1.37042009 -0.15791482 -78.519287 -9.047853
    Unten rechts KachelX + 1 9238 KachelY + 1 17211 -1.37022834 -0.15791482 -78.508301 -9.047853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15772546--0.15791482) × R
    0.00018936 × 6371000     		dl = 1206.41256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15772546--0.15791482) × R
    0.00018936 × 6371000     		dr = 1206.41256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37042009--1.37022834) × cos(-0.15772546) × R
    0.000191750000000157 × 0.987587104971865 × 6371000     		do = 1206.47517022849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37042009--1.37022834) × cos(-0.15791482) × R
    0.000191750000000157 × 0.987557344053649 × 6371000     		du = 1206.43881312268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15772546)-sin(-0.15791482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987587104971865-0.987557344053649)×R²
    abs(-1.37022834--1.37042009)×2.97609182160485e-05×R²
    0.000191750000000157×2.97609182160485e-05×6371000²
    0.000191750000000157×2.97609182160485e-05×40589641000000     		ar = 1455484.87220641m²