Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9235 / 7675
↖ ↑ ↗
← N 11.286161°
E 22.917480°		 ← 2 396.03 m → N 11.286161°
E 22.939453°		 →
↑
2 396.13 m
↓
↑
2 396.13 m
↓
N 11.264612°
E 22.917480°		 ← 2 396.21 m →
5 741 423 m²		 N 11.264612°
E 22.939453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563690185546875 y=0.468475341796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563690185546875 × 214)
    floor (0.563690185546875 × 16384)
    floor (9235.5)     		tx = 9235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468475341796875 × 214)
    floor (0.468475341796875 × 16384)
    floor (7675.5)     		ty = 7675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9235 / 7675 ti = "14/9235/7675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9235/7675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9235 ÷ 214
    9235 ÷ 16384     		x = 0.56365966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7675 ÷ 214
    7675 ÷ 16384     		y = 0.46844482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56365966796875 × 2 - 1) × π
    0.1273193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.39998549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46844482421875 × 2 - 1) × π
    0.0631103515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.198267016828552
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39998549} λ = 0.39998549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.198267016828552))-π/2
    2×atan(1.21928792075282)-π/2
    2×0.883888496056743-π/2
    1.76777699211349-1.57079632675     		φ = 0.19698067
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39998549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.917480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19698067 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.286161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9235 KachelY 7675 0.39998549 0.19698067 22.917480 11.286161
    Oben rechts KachelX + 1 9236 KachelY 7675 0.40036899 0.19698067 22.939453 11.286161
    Unten links KachelX 9235 KachelY + 1 7676 0.39998549 0.19660457 22.917480 11.264612
    Unten rechts KachelX + 1 9236 KachelY + 1 7676 0.40036899 0.19660457 22.939453 11.264612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19698067-0.19660457) × R
    0.00037609999999999 × 6371000     		dl = 2396.13309999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19698067-0.19660457) × R
    0.00037609999999999 × 6371000     		dr = 2396.13309999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39998549-0.40036899) × cos(0.19698067) × R
    0.000383499999999981 × 0.980661957887019 × 6371000     		do = 2396.03027747314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39998549-0.40036899) × cos(0.19660457) × R
    0.000383499999999981 × 0.980735494789576 × 6371000     		du = 2396.20994860612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19698067)-sin(0.19660457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980661957887019-0.980735494789576)×R²
    abs(0.40036899-0.39998549)×7.35369025571808e-05×R²
    0.000383499999999981×7.35369025571808e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.35369025571808e-05×40589641000000     		ar = 5741422.78210735m²