Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9235 / 17197
↖ ↑ ↗
← S  8.895926°
W 78.541260°		 ← 1 206.94 m → S  8.895926°
W 78.530273°		 →
↑
1 206.92 m
↓
↑
1 206.92 m
↓
S  8.906780°
W 78.541260°		 ← 1 206.91 m →
1 456 666 m²		 S  8.906780°
W 78.530273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281845092773438 y=0.524826049804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281845092773438 × 215)
    floor (0.281845092773438 × 32768)
    floor (9235.5)     		tx = 9235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524826049804688 × 215)
    floor (0.524826049804688 × 32768)
    floor (17197.5)     		ty = 17197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9235 / 17197 ti = "15/9235/17197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9235/17197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9235 ÷ 215
    9235 ÷ 32768     		x = 0.281829833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17197 ÷ 215
    17197 ÷ 32768     		y = 0.524810791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281829833984375 × 2 - 1) × π
    -0.43634033203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.37080358
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524810791015625 × 2 - 1) × π
    -0.04962158203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.155890797564423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37080358} λ = -1.37080358}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.155890797564423))-π/2
    2×atan(0.855652624619919)-π/2
    2×0.707766564074025-π/2
    1.41553312814805-1.57079632675     		φ = -0.15526320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37080358} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.541260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15526320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.895926°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9235 KachelY 17197 -1.37080358 -0.15526320 -78.541260 -8.895926
    Oben rechts KachelX + 1 9236 KachelY 17197 -1.37061183 -0.15526320 -78.530273 -8.895926
    Unten links KachelX 9235 KachelY + 1 17198 -1.37080358 -0.15545264 -78.541260 -8.906780
    Unten rechts KachelX + 1 9236 KachelY + 1 17198 -1.37061183 -0.15545264 -78.530273 -8.906780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15526320--0.15545264) × R
    0.000189440000000013 × 6371000     		dl = 1206.92224000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15526320--0.15545264) × R
    0.000189440000000013 × 6371000     		dr = 1206.92224000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37080358--1.37061183) × cos(-0.15526320) × R
    0.000191749999999935 × 0.987970863710702 × 6371000     		do = 1206.94398496499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37080358--1.37061183) × cos(-0.15545264) × R
    0.000191749999999935 × 0.987941550955116 × 6371000     		du = 1206.90817535224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15526320)-sin(-0.15545264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987970863710702-0.987941550955116)×R²
    abs(-1.37061183--1.37080358)×2.93127555853756e-05×R²
    0.000191749999999935×2.93127555853756e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.93127555853756e-05×40589641000000     		ar = 1456665.93253598m²