Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9233 / 25681
↖ ↑ ↗
← S 70.905863°
W 78.563233°		 ← 399.62 m → S 70.905863°
W 78.552246°		 →
↑
399.59 m
↓
↑
399.59 m
↓
S 70.909456°
W 78.563233°		 ← 399.55 m →
159 671 m²		 S 70.909456°
W 78.552246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281784057617188 y=0.783737182617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281784057617188 × 215)
    floor (0.281784057617188 × 32768)
    floor (9233.5)     		tx = 9233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783737182617188 × 215)
    floor (0.783737182617188 × 32768)
    floor (25681.5)     		ty = 25681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9233 / 25681 ti = "15/9233/25681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9233/25681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9233 ÷ 215
    9233 ÷ 32768     		x = 0.281768798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25681 ÷ 215
    25681 ÷ 32768     		y = 0.783721923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281768798828125 × 2 - 1) × π
    -0.43646240234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.37118708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783721923828125 × 2 - 1) × π
    -0.56744384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.78267742307065
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37118708} λ = -1.37118708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78267742307065))-π/2
    2×atan(0.168187235512643)-π/2
    2×0.16662778401017-π/2
    0.33325556802034-1.57079632675     		φ = -1.23754076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37118708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.563233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23754076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.905863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9233 KachelY 25681 -1.37118708 -1.23754076 -78.563233 -70.905863
    Oben rechts KachelX + 1 9234 KachelY 25681 -1.37099533 -1.23754076 -78.552246 -70.905863
    Unten links KachelX 9233 KachelY + 1 25682 -1.37118708 -1.23760348 -78.563233 -70.909456
    Unten rechts KachelX + 1 9234 KachelY + 1 25682 -1.37099533 -1.23760348 -78.552246 -70.909456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23754076--1.23760348) × R
    6.27200000000716e-05 × 6371000     		dl = 399.589120000456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23754076--1.23760348) × R
    6.27200000000716e-05 × 6371000     		dr = 399.589120000456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37118708--1.37099533) × cos(-1.23754076) × R
    0.000191749999999935 × 0.327121209776163 × 6371000     		do = 399.624109369909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37118708--1.37099533) × cos(-1.23760348) × R
    0.000191749999999935 × 0.327061939837396 × 6371000     		du = 399.551702886366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23754076)-sin(-1.23760348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327121209776163-0.327061939837396)×R²
    abs(-1.37099533--1.37118708)×5.92699387670925e-05×R²
    0.000191749999999935×5.92699387670925e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.92699387670925e-05×40589641000000     		ar = 159670.979824643m²