Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 923 / 550
↖ ↑ ↗
← N 63.704723°
W 17.753906°		 ← 8 658.81 m → N 63.704723°
W 17.578125°		 →
↑
8 670.74 m
↓
↑
8 670.74 m
↓
N 63.626745°
W 17.753906°		 ← 8 682.65 m →
75 181 688 m²		 N 63.626745°
W 17.578125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450927734375 y=0.268798828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450927734375 × 211)
    floor (0.450927734375 × 2048)
    floor (923.5)     		tx = 923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.268798828125 × 211)
    floor (0.268798828125 × 2048)
    floor (550.5)     		ty = 550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 923 / 550 ti = "11/923/550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/923/550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 923 ÷ 211
    923 ÷ 2048     		x = 0.45068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 550 ÷ 211
    550 ÷ 2048     		y = 0.2685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45068359375 × 2 - 1) × π
    -0.0986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30986412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2685546875 × 2 - 1) × π
    0.462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.45421378687402
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30986412} λ = -0.30986412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45421378687402))-π/2
    2×atan(4.28111627230266)-π/2
    2×1.34132674111959-π/2
    2.68265348223917-1.57079632675     		φ = 1.11185716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30986412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.753906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11185716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.704723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 923 KachelY 550 -0.30986412 1.11185716 -17.753906 63.704723
    Oben rechts KachelX + 1 924 KachelY 550 -0.30679616 1.11185716 -17.578125 63.704723
    Unten links KachelX 923 KachelY + 1 551 -0.30986412 1.11049619 -17.753906 63.626745
    Unten rechts KachelX + 1 924 KachelY + 1 551 -0.30679616 1.11049619 -17.578125 63.626745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11185716-1.11049619) × R
    0.00136096999999991 × 6371000     		dl = 8670.7398699994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11185716-1.11049619) × R
    0.00136096999999991 × 6371000     		dr = 8670.7398699994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30986412--0.30679616) × cos(1.11185716) × R
    0.00306796000000004 × 0.442997295098646 × 6371000     		do = 8658.81323995084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30986412--0.30679616) × cos(1.11049619) × R
    0.00306796000000004 × 0.444217025290261 × 6371000     		du = 8682.65405353858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11185716)-sin(1.11049619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442997295098646-0.444217025290261)×R²
    abs(-0.30679616--0.30986412)×0.00121973019161414×R²
    0.00306796000000004×0.00121973019161414×6371000²
    0.00306796000000004×0.00121973019161414×40589641000000     		ar = 75181687.5375106m²