Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9228 / 17226
↖ ↑ ↗
← S  9.210560°
W 78.618164°		 ← 1 205.83 m → S  9.210560°
W 78.607178°		 →
↑
1 205.84 m
↓
↑
1 205.84 m
↓
S  9.221404°
W 78.618164°		 ← 1 205.79 m →
1 454 009 m²		 S  9.221404°
W 78.607178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281631469726562 y=0.525711059570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281631469726562 × 215)
    floor (0.281631469726562 × 32768)
    floor (9228.5)     		tx = 9228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525711059570312 × 215)
    floor (0.525711059570312 × 32768)
    floor (17226.5)     		ty = 17226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9228 / 17226 ti = "15/9228/17226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9228/17226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9228 ÷ 215
    9228 ÷ 32768     		x = 0.2816162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17226 ÷ 215
    17226 ÷ 32768     		y = 0.52569580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2816162109375 × 2 - 1) × π
    -0.436767578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.37214581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52569580078125 × 2 - 1) × π
    -0.0513916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.161451477920349
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37214581} λ = -1.37214581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.161451477920349))-π/2
    2×atan(0.850907818280638)-π/2
    2×0.705020863484235-π/2
    1.41004172696847-1.57079632675     		φ = -0.16075460
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37214581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.618164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16075460 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.210560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9228 KachelY 17226 -1.37214581 -0.16075460 -78.618164 -9.210560
    Oben rechts KachelX + 1 9229 KachelY 17226 -1.37195407 -0.16075460 -78.607178 -9.210560
    Unten links KachelX 9228 KachelY + 1 17227 -1.37214581 -0.16094387 -78.618164 -9.221404
    Unten rechts KachelX + 1 9229 KachelY + 1 17227 -1.37195407 -0.16094387 -78.607178 -9.221404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16075460--0.16094387) × R
    0.000189269999999991 × 6371000     		dl = 1205.83916999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16075460--0.16094387) × R
    0.000189269999999991 × 6371000     		dr = 1205.83916999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37214581--1.37195407) × cos(-0.16075460) × R
    0.000191739999999996 × 0.987106780794286 × 6371000     		do = 1205.82549878642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37214581--1.37195407) × cos(-0.16094387) × R
    0.000191739999999996 × 0.987076467966569 × 6371000     		du = 1205.78846937753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16075460)-sin(-0.16094387))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987106780794286-0.987076467966569)×R²
    abs(-1.37195407--1.37214581)×3.03128277174824e-05×R²
    0.000191739999999996×3.03128277174824e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.03128277174824e-05×40589641000000     		ar = 1454009.29720612m²