Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9226 / 7674
↖ ↑ ↗
← N 11.307708°
E 22.719726°		 ← 2 395.85 m → N 11.307708°
E 22.741699°		 →
↑
2 395.88 m
↓
↑
2 395.88 m
↓
N 11.286161°
E 22.719726°		 ← 2 396.03 m →
5 740 381 m²		 N 11.286161°
E 22.741699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563140869140625 y=0.468414306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563140869140625 × 214)
    floor (0.563140869140625 × 16384)
    floor (9226.5)     		tx = 9226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468414306640625 × 214)
    floor (0.468414306640625 × 16384)
    floor (7674.5)     		ty = 7674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9226 / 7674 ti = "14/9226/7674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9226/7674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9226 ÷ 214
    9226 ÷ 16384     		x = 0.5631103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7674 ÷ 214
    7674 ÷ 16384     		y = 0.4683837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5631103515625 × 2 - 1) × π
    0.126220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39653403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4683837890625 × 2 - 1) × π
    0.063232421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.198650512025513
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39653403} λ = 0.39653403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.198650512025513))-π/2
    2×atan(1.21975560148506)-π/2
    2×0.884076528571488-π/2
    1.76815305714298-1.57079632675     		φ = 0.19735673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39653403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.719726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19735673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.307708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9226 KachelY 7674 0.39653403 0.19735673 22.719726 11.307708
    Oben rechts KachelX + 1 9227 KachelY 7674 0.39691753 0.19735673 22.741699 11.307708
    Unten links KachelX 9226 KachelY + 1 7675 0.39653403 0.19698067 22.719726 11.286161
    Unten rechts KachelX + 1 9227 KachelY + 1 7675 0.39691753 0.19698067 22.741699 11.286161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19735673-0.19698067) × R
    0.000376060000000011 × 6371000     		dl = 2395.87826000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19735673-0.19698067) × R
    0.000376060000000011 × 6371000     		dr = 2395.87826000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39653403-0.39691753) × cos(0.19735673) × R
    0.000383500000000037 × 0.980588290111766 × 6371000     		do = 2395.85028658207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39653403-0.39691753) × cos(0.19698067) × R
    0.000383500000000037 × 0.980661957887019 × 6371000     		du = 2396.03027747349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19735673)-sin(0.19698067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980588290111766-0.980661957887019)×R²
    abs(0.39691753-0.39653403)×7.36677752528614e-05×R²
    0.000383500000000037×7.36677752528614e-05×6371000²
    0.000383500000000037×7.36677752528614e-05×40589641000000     		ar = 5740381.30162009m²