Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 9226 / 7182
↖ ↑ ↗
← N 70.561492°
W 78.640137°		 ← 406.56 m → N 70.561492°
W 78.629150°		 →
↑
406.53 m
↓
↑
406.53 m
↓
N 70.557836°
W 78.640137°		 ← 406.63 m →
165 293 m²		 N 70.557836°
W 78.629150°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281570434570312 y=0.219192504882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281570434570312 × 215)
    floor (0.281570434570312 × 32768)
    floor (9226.5)     		tx = 9226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219192504882812 × 215)
    floor (0.219192504882812 × 32768)
    floor (7182.5)     		ty = 7182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9226 / 7182 ti = "15/9226/7182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9226/7182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9226 ÷ 215
    9226 ÷ 32768     		x = 0.28155517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7182 ÷ 215
    7182 ÷ 32768     		y = 0.21917724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28155517578125 × 2 - 1) × π
    -0.4368896484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.37252931
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21917724609375 × 2 - 1) × π
    0.5616455078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.76446140121503
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37252931} λ = -1.37252931}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76446140121503))-π/2
    2×atan(5.83842694144642)-π/2
    2×1.40116334582973-π/2
    2.80232669165946-1.57079632675     		φ = 1.23153036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37252931} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.640137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23153036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.561492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9226 KachelY 7182 -1.37252931 1.23153036 -78.640137 70.561492
    Oben rechts KachelX + 1 9227 KachelY 7182 -1.37233756 1.23153036 -78.629150 70.561492
    Unten links KachelX 9226 KachelY + 1 7183 -1.37252931 1.23146655 -78.640137 70.557836
    Unten rechts KachelX + 1 9227 KachelY + 1 7183 -1.37233756 1.23146655 -78.629150 70.557836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23153036-1.23146655) × R
    6.38100000001085e-05 × 6371000     		dl = 406.533510000691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23153036-1.23146655) × R
    6.38100000001085e-05 × 6371000     		dr = 406.533510000691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37252931--1.37233756) × cos(1.23153036) × R
    0.000191749999999935 × 0.332794989131984 × 6371000     		do = 406.555420926817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37252931--1.37233756) × cos(1.23146655) × R
    0.000191749999999935 × 0.332855161233507 × 6371000     		du = 406.628929527793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23153036)-sin(1.23146655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332794989131984-0.332855161233507)×R²
    abs(-1.37233756--1.37252931)×6.01721015235368e-05×R²
    0.000191749999999935×6.01721015235368e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.01721015235368e-05×40589641000000     		ar = 165293.344190591m²