Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9224 / 9211
↖ ↑ ↗
← S 21.841105°
E 22.675781°		 ← 2 267.90 m → S 21.841105°
E 22.697754°		 →
↑
2 267.69 m
↓
↑
2 267.69 m
↓
S 21.861499°
E 22.675781°		 ← 2 267.57 m →
5 142 531 m²		 S 21.861499°
E 22.697754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563018798828125 y=0.562225341796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563018798828125 × 214)
    floor (0.563018798828125 × 16384)
    floor (9224.5)     		tx = 9224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562225341796875 × 214)
    floor (0.562225341796875 × 16384)
    floor (9211.5)     		ty = 9211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9224 / 9211 ti = "14/9224/9211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9224/9211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9224 ÷ 214
    9224 ÷ 16384     		x = 0.56298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9211 ÷ 214
    9211 ÷ 16384     		y = 0.56219482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56298828125 × 2 - 1) × π
    0.1259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.39576704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56219482421875 × 2 - 1) × π
    -0.1243896484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.390781605702698
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39576704} λ = 0.39576704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.390781605702698))-π/2
    2×atan(0.676527889739688)-π/2
    2×0.594798568330555-π/2
    1.18959713666111-1.57079632675     		φ = -0.38119919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39576704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.675781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38119919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.841105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9224 KachelY 9211 0.39576704 -0.38119919 22.675781 -21.841105
    Oben rechts KachelX + 1 9225 KachelY 9211 0.39615054 -0.38119919 22.697754 -21.841105
    Unten links KachelX 9224 KachelY + 1 9212 0.39576704 -0.38155513 22.675781 -21.861499
    Unten rechts KachelX + 1 9225 KachelY + 1 9212 0.39615054 -0.38155513 22.697754 -21.861499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38119919--0.38155513) × R
    0.000355939999999999 × 6371000     		dl = 2267.69373999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38119919--0.38155513) × R
    0.000355939999999999 × 6371000     		dr = 2267.69373999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39576704-0.39615054) × cos(-0.38119919) × R
    0.000383499999999981 × 0.928219163829304 × 6371000     		do = 2267.897926272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39576704-0.39615054) × cos(-0.38155513) × R
    0.000383499999999981 × 0.928086683304752 × 6371000     		du = 2267.5742394547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38119919)-sin(-0.38155513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928219163829304-0.928086683304752)×R²
    abs(0.39615054-0.39576704)×0.000132480524551837×R²
    0.000383499999999981×0.000132480524551837×6371000²
    0.000383499999999981×0.000132480524551837×40589641000000     		ar = 5142530.97337432m²