Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9224 / 11337
↖ ↑ ↗
← N 75.396395°
W129.331055°		 ← 154 m → N 75.396395°
W129.325562°		 →
↑
154.05 m
↓
↑
154.05 m
↓
N 75.395009°
W129.331055°		 ← 154.01 m →
23 725 m²		 N 75.395009°
W129.325562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140754699707031 y=0.172996520996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140754699707031 × 216)
    floor (0.140754699707031 × 65536)
    floor (9224.5)     		tx = 9224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172996520996094 × 216)
    floor (0.172996520996094 × 65536)
    floor (11337.5)     		ty = 11337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9224 / 11337 ti = "16/9224/11337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9224/11337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9224 ÷ 216
    9224 ÷ 65536     		x = 0.1407470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11337 ÷ 216
    11337 ÷ 65536     		y = 0.172988891601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1407470703125 × 2 - 1) × π
    -0.718505859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.25725273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172988891601562 × 2 - 1) × π
    0.654022216796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.05467139151485
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25725273} λ = -2.25725273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05467139151485))-π/2
    2×atan(7.80427290092755)-π/2
    2×1.44335582742966-π/2
    2.88671165485932-1.57079632675     		φ = 1.31591533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25725273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.331055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31591533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.396395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9224 KachelY 11337 -2.25725273 1.31591533 -129.331055 75.396395
    Oben rechts KachelX + 1 9225 KachelY 11337 -2.25715686 1.31591533 -129.325562 75.396395
    Unten links KachelX 9224 KachelY + 1 11338 -2.25725273 1.31589115 -129.331055 75.395009
    Unten rechts KachelX + 1 9225 KachelY + 1 11338 -2.25715686 1.31589115 -129.325562 75.395009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31591533-1.31589115) × R
    2.41800000000403e-05 × 6371000     		dl = 154.050780000257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31591533-1.31589115) × R
    2.41800000000403e-05 × 6371000     		dr = 154.050780000257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25725273--2.25715686) × cos(1.31591533) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.252130251814882 × 6371000     		do = 153.998074255547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25725273--2.25715686) × cos(1.31589115) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.252153650565333 × 6371000     		du = 154.012365926155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31591533)-sin(1.31589115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.252130251814882-0.252153650565333)×R²
    abs(-2.25715686--2.25725273)×2.33987504505428e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.33987504505428e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.33987504505428e-05×40589641000000     		ar = 23724.624280607m²