Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9223 / 9207
↖ ↑ ↗
← S 21.759500°
E 22.653809°		 ← 2 269.13 m → S 21.759500°
E 22.675781°		 →
↑
2 269.03 m
↓
↑
2 269.03 m
↓
S 21.779905°
E 22.653809°		 ← 2 268.81 m →
5 148 364 m²		 S 21.779905°
E 22.675781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562957763671875 y=0.561981201171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562957763671875 × 214)
    floor (0.562957763671875 × 16384)
    floor (9223.5)     		tx = 9223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561981201171875 × 214)
    floor (0.561981201171875 × 16384)
    floor (9207.5)     		ty = 9207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9223 / 9207 ti = "14/9223/9207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9223/9207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9223 ÷ 214
    9223 ÷ 16384     		x = 0.56292724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9207 ÷ 214
    9207 ÷ 16384     		y = 0.56195068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56292724609375 × 2 - 1) × π
    0.1258544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.39538355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56195068359375 × 2 - 1) × π
    -0.1239013671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.389247624914856
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39538355} λ = 0.39538355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.389247624914856))-π/2
    2×atan(0.677566466900037)-π/2
    2×0.595510706458675-π/2
    1.19102141291735-1.57079632675     		φ = -0.37977491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39538355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.653809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37977491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.759500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9223 KachelY 9207 0.39538355 -0.37977491 22.653809 -21.759500
    Oben rechts KachelX + 1 9224 KachelY 9207 0.39576704 -0.37977491 22.675781 -21.759500
    Unten links KachelX 9223 KachelY + 1 9208 0.39538355 -0.38013106 22.653809 -21.779905
    Unten rechts KachelX + 1 9224 KachelY + 1 9208 0.39576704 -0.38013106 22.675781 -21.779905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37977491--0.38013106) × R
    0.00035615 × 6371000     		dl = 2269.03165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37977491--0.38013106) × R
    0.00035615 × 6371000     		dr = 2269.03165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39538355-0.39576704) × cos(-0.37977491) × R
    0.000383490000000042 × 0.928748102538633 × 6371000     		do = 2269.13110030707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39538355-0.39576704) × cos(-0.38013106) × R
    0.000383490000000042 × 0.92861601476422 × 6371000     		du = 2268.80838150305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37977491)-sin(-0.38013106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928748102538633-0.92861601476422)×R²
    abs(0.39576704-0.39538355)×0.000132087774412426×R²
    0.000383490000000042×0.000132087774412426×6371000²
    0.000383490000000042×0.000132087774412426×40589641000000     		ar = 5148364.20942559m²