Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9220 / 11244
↖ ↑ ↗
← N 75.524645°
W129.353027°		 ← 152.67 m → N 75.524645°
W129.347534°		 →
↑
152.71 m
↓
↑
152.71 m
↓
N 75.523272°
W129.353027°		 ← 152.69 m →
23 316 m²		 N 75.523272°
W129.347534°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140693664550781 y=0.171577453613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140693664550781 × 216)
    floor (0.140693664550781 × 65536)
    floor (9220.5)     		tx = 9220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171577453613281 × 216)
    floor (0.171577453613281 × 65536)
    floor (11244.5)     		ty = 11244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9220 / 11244 ti = "16/9220/11244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9220/11244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9220 ÷ 216
    9220 ÷ 65536     		x = 0.14068603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11244 ÷ 216
    11244 ÷ 65536     		y = 0.17156982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14068603515625 × 2 - 1) × π
    -0.7186279296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.25763622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17156982421875 × 2 - 1) × π
    0.6568603515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.06358765484418
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25763622} λ = -2.25763622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06358765484418))-π/2
    2×atan(7.87416899614192)-π/2
    2×1.44447502109524-π/2
    2.88895004219048-1.57079632675     		φ = 1.31815372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25763622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.353027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31815372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.524645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9220 KachelY 11244 -2.25763622 1.31815372 -129.353027 75.524645
    Oben rechts KachelX + 1 9221 KachelY 11244 -2.25754035 1.31815372 -129.347534 75.524645
    Unten links KachelX 9220 KachelY + 1 11245 -2.25763622 1.31812975 -129.353027 75.523272
    Unten rechts KachelX + 1 9221 KachelY + 1 11245 -2.25754035 1.31812975 -129.347534 75.523272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31815372-1.31812975) × R
    2.39699999999843e-05 × 6371000     		dl = 152.7128699999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31815372-1.31812975) × R
    2.39699999999843e-05 × 6371000     		dr = 152.7128699999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25763622--2.25754035) × cos(1.31815372) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.249963546967422 × 6371000     		do = 152.674677433518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25763622--2.25754035) × cos(1.31812975) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.249986755973903 × 6371000     		du = 152.688853210831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31815372)-sin(1.31812975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.249963546967422-0.249986755973903)×R²
    abs(-2.25754035--2.25763622)×2.32090064815338e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.32090064815338e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.32090064815338e-05×40589641000000     		ar = 23316.470580404m²