Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9217 / 11261
↖ ↑ ↗
← N 75.501284°
W129.369507°		 ← 152.93 m → N 75.501284°
W129.364014°		 →
↑
152.90 m
↓
↑
152.90 m
↓
N 75.499909°
W129.369507°		 ← 152.95 m →
23 385 m²		 N 75.499909°
W129.364014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140647888183594 y=0.171836853027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140647888183594 × 216)
    floor (0.140647888183594 × 65536)
    floor (9217.5)     		tx = 9217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171836853027344 × 216)
    floor (0.171836853027344 × 65536)
    floor (11261.5)     		ty = 11261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9217 / 11261 ti = "16/9217/11261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9217/11261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9217 ÷ 216
    9217 ÷ 65536     		x = 0.140640258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11261 ÷ 216
    11261 ÷ 65536     		y = 0.171829223632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140640258789062 × 2 - 1) × π
    -0.718719482421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.25792385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171829223632812 × 2 - 1) × π
    0.656341552734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.0619578002571
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25792385} λ = -2.25792385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.0619578002571))-π/2
    2×atan(7.86134569857795)-π/2
    2×1.44427115816314-π/2
    2.88854231632629-1.57079632675     		φ = 1.31774599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25792385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.369507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31774599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.501284°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9217 KachelY 11261 -2.25792385 1.31774599 -129.369507 75.501284
    Oben rechts KachelX + 1 9218 KachelY 11261 -2.25782797 1.31774599 -129.364014 75.501284
    Unten links KachelX 9217 KachelY + 1 11262 -2.25792385 1.31772199 -129.369507 75.499909
    Unten rechts KachelX + 1 9218 KachelY + 1 11262 -2.25782797 1.31772199 -129.364014 75.499909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31774599-1.31772199) × R
    2.4000000000024e-05 × 6371000     		dl = 152.904000000153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31774599-1.31772199) × R
    2.4000000000024e-05 × 6371000     		dr = 152.904000000153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25792385--2.25782797) × cos(1.31774599) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.250358312891292 × 6371000     		do = 152.931745959849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25792385--2.25782797) × cos(1.31772199) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.250381548497183 × 6371000     		du = 152.945939464096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31774599)-sin(1.31772199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250358312891292-0.250381548497183)×R²
    abs(-2.25782797--2.25792385)×2.32356058906258e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.32356058906258e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.32356058906258e-05×40589641000000     		ar = 23384.9608069782m²