Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 9216 / 17414
↖ ↑ ↗
← S 11.243062°
W 78.750000°		 ← 1 198.19 m → S 11.243062°
W 78.739014°		 →
↑
1 198.13 m
↓
↑
1 198.13 m
↓
S 11.253837°
W 78.750000°		 ← 1 198.15 m →
1 435 566 m²		 S 11.253837°
W 78.739014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281265258789062 y=0.531448364257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281265258789062 × 215)
    floor (0.281265258789062 × 32768)
    floor (9216.5)     		tx = 9216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531448364257812 × 215)
    floor (0.531448364257812 × 32768)
    floor (17414.5)     		ty = 17414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9216 / 17414 ti = "15/9216/17414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9216/17414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9216 ÷ 215
    9216 ÷ 32768     		x = 0.28125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17414 ÷ 215
    17414 ÷ 32768     		y = 0.53143310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28125 × 2 - 1) × π
    -0.4375 × 3.1415926535     		Λ = -1.37444679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53143310546875 × 2 - 1) × π
    -0.0628662109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.197500026434631
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37444679} λ = -1.37444679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.197500026434631))-π/2
    2×atan(0.820780118930705)-π/2
    2×0.687283938081224-π/2
    1.37456787616245-1.57079632675     		φ = -0.19622845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37444679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19622845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.243062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9216 KachelY 17414 -1.37444679 -0.19622845 -78.750000 -11.243062
    Oben rechts KachelX + 1 9217 KachelY 17414 -1.37425504 -0.19622845 -78.739014 -11.243062
    Unten links KachelX 9216 KachelY + 1 17415 -1.37444679 -0.19641651 -78.750000 -11.253837
    Unten rechts KachelX + 1 9217 KachelY + 1 17415 -1.37425504 -0.19641651 -78.739014 -11.253837
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19622845--0.19641651) × R
    0.00018805999999999 × 6371000     		dl = 1198.13025999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19622845--0.19641651) × R
    0.00018805999999999 × 6371000     		dr = 1198.13025999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37444679--1.37425504) × cos(-0.19622845) × R
    0.000191749999999935 × 0.980808896865344 × 6371000     		do = 1198.1946451595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37444679--1.37425504) × cos(-0.19641651) × R
    0.000191749999999935 × 0.980772213170731 × 6371000     		du = 1198.14983091833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19622845)-sin(-0.19641651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980808896865344-0.980772213170731)×R²
    abs(-1.37425504--1.37444679)×3.6683694612516e-05×R²
    0.000191749999999935×3.6683694612516e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.6683694612516e-05×40589641000000     		ar = 1435566.41931727m²