Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 9216 / 17223
↖ ↑ ↗
← S  9.178025°
W 78.750000°		 ← 1 206 m → S  9.178025°
W 78.739014°		 →
↑
1 205.97 m
↓
↑
1 205.97 m
↓
S  9.188870°
W 78.750000°		 ← 1 205.96 m →
1 454 373 m²		 S  9.188870°
W 78.739014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281265258789062 y=0.525619506835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281265258789062 × 215)
    floor (0.281265258789062 × 32768)
    floor (9216.5)     		tx = 9216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525619506835938 × 215)
    floor (0.525619506835938 × 32768)
    floor (17223.5)     		ty = 17223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9216 / 17223 ti = "15/9216/17223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9216/17223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9216 ÷ 215
    9216 ÷ 32768     		x = 0.28125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17223 ÷ 215
    17223 ÷ 32768     		y = 0.525604248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28125 × 2 - 1) × π
    -0.4375 × 3.1415926535     		Λ = -1.37444679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525604248046875 × 2 - 1) × π
    -0.05120849609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.160876235124908
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37444679} λ = -1.37444679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.160876235124908))-π/2
    2×atan(0.851397437684204)-π/2
    2×0.705304789572046-π/2
    1.41060957914409-1.57079632675     		φ = -0.16018675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37444679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16018675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.178025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9216 KachelY 17223 -1.37444679 -0.16018675 -78.750000 -9.178025
    Oben rechts KachelX + 1 9217 KachelY 17223 -1.37425504 -0.16018675 -78.739014 -9.178025
    Unten links KachelX 9216 KachelY + 1 17224 -1.37444679 -0.16037604 -78.750000 -9.188870
    Unten rechts KachelX + 1 9217 KachelY + 1 17224 -1.37425504 -0.16037604 -78.739014 -9.188870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16018675--0.16037604) × R
    0.000189290000000009 × 6371000     		dl = 1205.96659000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16018675--0.16037604) × R
    0.000189290000000009 × 6371000     		dr = 1205.96659000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37444679--1.37425504) × cos(-0.16018675) × R
    0.000191749999999935 × 0.987197513485661 × 6371000     		do = 1205.99922997608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37444679--1.37425504) × cos(-0.16037604) × R
    0.000191749999999935 × 0.987167303558654 × 6371000     		du = 1205.96232434351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16018675)-sin(-0.16037604))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987197513485661-0.987167303558654)×R²
    abs(-1.37425504--1.37444679)×3.02099270077516e-05×R²
    0.000191749999999935×3.02099270077516e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.02099270077516e-05×40589641000000     		ar = 1454372.52977973m²