Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9215 / 7617
↖ ↑ ↗
← N 12.533115°
E 22.478028°		 ← 2 384.99 m → N 12.533115°
E 22.500000°		 →
↑
2 385.11 m
↓
↑
2 385.11 m
↓
N 12.511666°
E 22.478028°		 ← 2 385.19 m →
5 688 715 m²		 N 12.511666°
E 22.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562469482421875 y=0.464935302734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562469482421875 × 214)
    floor (0.562469482421875 × 16384)
    floor (9215.5)     		tx = 9215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464935302734375 × 214)
    floor (0.464935302734375 × 16384)
    floor (7617.5)     		ty = 7617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9215 / 7617 ti = "14/9215/7617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9215/7617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9215 ÷ 214
    9215 ÷ 16384     		x = 0.56243896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7617 ÷ 214
    7617 ÷ 16384     		y = 0.46490478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56243896484375 × 2 - 1) × π
    0.1248779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.39231559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46490478515625 × 2 - 1) × π
    0.0701904296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.220509738252258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39231559} λ = 0.39231559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.220509738252258))-π/2
    2×atan(1.2467120654757)-π/2
    2×0.894770227652748-π/2
    1.7895404553055-1.57079632675     		φ = 0.21874413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39231559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.478028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21874413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.533115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9215 KachelY 7617 0.39231559 0.21874413 22.478028 12.533115
    Oben rechts KachelX + 1 9216 KachelY 7617 0.39269908 0.21874413 22.500000 12.533115
    Unten links KachelX 9215 KachelY + 1 7618 0.39231559 0.21836976 22.478028 12.511666
    Unten rechts KachelX + 1 9216 KachelY + 1 7618 0.39269908 0.21836976 22.500000 12.511666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21874413-0.21836976) × R
    0.000374370000000013 × 6371000     		dl = 2385.11127000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21874413-0.21836976) × R
    0.000374370000000013 × 6371000     		dr = 2385.11127000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39231559-0.39269908) × cos(0.21874413) × R
    0.000383489999999986 × 0.976170747698058 × 6371000     		do = 2384.99480834117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39231559-0.39269908) × cos(0.21836976) × R
    0.000383489999999986 × 0.976251919021273 × 6371000     		du = 2385.19312731857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21874413)-sin(0.21836976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976170747698058-0.976251919021273)×R²
    abs(0.39269908-0.39231559)×8.11713232140576e-05×R²
    0.000383489999999986×8.11713232140576e-05×6371000²
    0.000383489999999986×8.11713232140576e-05×40589641000000     		ar = 5688714.5691212m²