Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 9215 / 11267
↖ ↑ ↗
← N 75.493030°
W129.380493°		 ← 153 m → N 75.493030°
W129.375000°		 →
↑
152.97 m
↓
↑
152.97 m
↓
N 75.491654°
W129.380493°		 ← 153.02 m →
23 405 m²		 N 75.491654°
W129.375000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140617370605469 y=0.171928405761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140617370605469 × 216)
    floor (0.140617370605469 × 65536)
    floor (9215.5)     		tx = 9215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171928405761719 × 216)
    floor (0.171928405761719 × 65536)
    floor (11267.5)     		ty = 11267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9215 / 11267 ti = "16/9215/11267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9215/11267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9215 ÷ 216
    9215 ÷ 65536     		x = 0.140609741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11267 ÷ 216
    11267 ÷ 65536     		y = 0.171920776367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140609741210938 × 2 - 1) × π
    -0.718780517578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.25811559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171920776367188 × 2 - 1) × π
    0.656158447265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.06138255746165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25811559} λ = -2.25811559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06138255746165))-π/2
    2×atan(7.85682481652946)-π/2
    2×1.44419912970008-π/2
    2.88839825940016-1.57079632675     		φ = 1.31760193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25811559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.380493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31760193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.493030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9215 KachelY 11267 -2.25811559 1.31760193 -129.380493 75.493030
    Oben rechts KachelX + 1 9216 KachelY 11267 -2.25801972 1.31760193 -129.375000 75.493030
    Unten links KachelX 9215 KachelY + 1 11268 -2.25811559 1.31757792 -129.380493 75.491654
    Unten rechts KachelX + 1 9216 KachelY + 1 11268 -2.25801972 1.31757792 -129.375000 75.491654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31760193-1.31757792) × R
    2.40099999999632e-05 × 6371000     		dl = 152.967709999766m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31760193-1.31757792) × R
    2.40099999999632e-05 × 6371000     		dr = 152.967709999766m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25811559--2.25801972) × cos(1.31760193) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.250497782450103 × 6371000     		do = 153.00098193264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25811559--2.25801972) × cos(1.31757792) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.250521026871225 × 6371000     		du = 153.015179340782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31760193)-sin(1.31757792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250497782450103-0.250521026871225)×R²
    abs(-2.25801972--2.25811559)×2.32444211220595e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.32444211220595e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.32444211220595e-05×40589641000000     		ar = 23405.2957076193m²