Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9214 / 7627
↖ ↑ ↗
← N 12.318536°
E 22.456055°		 ← 2 387.03 m → N 12.318536°
E 22.478028°		 →
↑
2 387.09 m
↓
↑
2 387.09 m
↓
N 12.297068°
E 22.456055°		 ← 2 387.22 m →
5 698 270 m²		 N 12.297068°
E 22.478028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562408447265625 y=0.465545654296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562408447265625 × 214)
    floor (0.562408447265625 × 16384)
    floor (9214.5)     		tx = 9214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465545654296875 × 214)
    floor (0.465545654296875 × 16384)
    floor (7627.5)     		ty = 7627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9214 / 7627 ti = "14/9214/7627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9214/7627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9214 ÷ 214
    9214 ÷ 16384     		x = 0.5623779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7627 ÷ 214
    7627 ÷ 16384     		y = 0.46551513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5623779296875 × 2 - 1) × π
    0.124755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.39193209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46551513671875 × 2 - 1) × π
    0.0689697265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.216674786282654
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39193209} λ = 0.39193209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.216674786282654))-π/2
    2×atan(1.24194014048458)-π/2
    2×0.892897668998055-π/2
    1.78579533799611-1.57079632675     		φ = 0.21499901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39193209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.456055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21499901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.318536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9214 KachelY 7627 0.39193209 0.21499901 22.456055 12.318536
    Oben rechts KachelX + 1 9215 KachelY 7627 0.39231559 0.21499901 22.478028 12.318536
    Unten links KachelX 9214 KachelY + 1 7628 0.39193209 0.21462433 22.456055 12.297068
    Unten rechts KachelX + 1 9215 KachelY + 1 7628 0.39231559 0.21462433 22.478028 12.297068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21499901-0.21462433) × R
    0.000374679999999988 × 6371000     		dl = 2387.08627999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21499901-0.21462433) × R
    0.000374679999999988 × 6371000     		dr = 2387.08627999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39193209-0.39231559) × cos(0.21499901) × R
    0.000383499999999981 × 0.976976605420338 × 6371000     		do = 2387.02593502638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39193209-0.39231559) × cos(0.21462433) × R
    0.000383499999999981 × 0.97705647349403 × 6371000     		du = 2387.22107497367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21499901)-sin(0.21462433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976976605420338-0.97705647349403)×R²
    abs(0.39231559-0.39193209)×7.98680736928681e-05×R²
    0.000383499999999981×7.98680736928681e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.98680736928681e-05×40589641000000     		ar = 5698269.83411347m²