Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9214 / 11274
↖ ↑ ↗
← N 75.483394°
W129.385986°		 ← 153.12 m → N 75.483394°
W129.380493°		 →
↑
153.10 m
↓
↑
153.10 m
↓
N 75.482017°
W129.385986°		 ← 153.13 m →
23 442 m²		 N 75.482017°
W129.380493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140602111816406 y=0.172035217285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140602111816406 × 216)
    floor (0.140602111816406 × 65536)
    floor (9214.5)     		tx = 9214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172035217285156 × 216)
    floor (0.172035217285156 × 65536)
    floor (11274.5)     		ty = 11274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9214 / 11274 ti = "16/9214/11274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9214/11274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9214 ÷ 216
    9214 ÷ 65536     		x = 0.140594482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11274 ÷ 216
    11274 ÷ 65536     		y = 0.172027587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140594482421875 × 2 - 1) × π
    -0.71881103515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.25821147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172027587890625 × 2 - 1) × π
    0.65594482421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.06071144086697
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25821147} λ = -2.25821147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06071144086697))-π/2
    2×atan(7.8515537399649)-π/2
    2×1.44411504577943-π/2
    2.88823009155886-1.57079632675     		φ = 1.31743376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25821147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.385986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31743376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.483394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9214 KachelY 11274 -2.25821147 1.31743376 -129.385986 75.483394
    Oben rechts KachelX + 1 9215 KachelY 11274 -2.25811559 1.31743376 -129.380493 75.483394
    Unten links KachelX 9214 KachelY + 1 11275 -2.25821147 1.31740973 -129.385986 75.482017
    Unten rechts KachelX + 1 9215 KachelY + 1 11275 -2.25811559 1.31740973 -129.380493 75.482017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31743376-1.31740973) × R
    2.40299999998417e-05 × 6371000     		dl = 153.095129998991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31743376-1.31740973) × R
    2.40299999998417e-05 × 6371000     		dr = 153.095129998991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25821147--2.25811559) × cos(1.31743376) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.250660587172165 × 6371000     		do = 153.116390651685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25821147--2.25811559) × cos(1.31740973) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.250683849942841 × 6371000     		du = 153.130600749582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31743376)-sin(1.31740973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250660587172165-0.250683849942841)×R²
    abs(-2.25811559--2.25821147)×2.32627706762134e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.32627706762134e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.32627706762134e-05×40589641000000     		ar = 23442.461481287m²