Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9213 / 7624
↖ ↑ ↗
← N 12.382928°
E 22.434082°		 ← 2 386.38 m → N 12.382928°
E 22.456055°		 →
↑
2 386.51 m
↓
↑
2 386.51 m
↓
N 12.361466°
E 22.434082°		 ← 2 386.57 m →
5 695 352 m²		 N 12.361466°
E 22.456055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562347412109375 y=0.465362548828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562347412109375 × 214)
    floor (0.562347412109375 × 16384)
    floor (9213.5)     		tx = 9213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465362548828125 × 214)
    floor (0.465362548828125 × 16384)
    floor (7624.5)     		ty = 7624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9213 / 7624 ti = "14/9213/7624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9213/7624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9213 ÷ 214
    9213 ÷ 16384     		x = 0.56231689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7624 ÷ 214
    7624 ÷ 16384     		y = 0.46533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56231689453125 × 2 - 1) × π
    0.1246337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.39154860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46533203125 × 2 - 1) × π
    0.0693359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.217825271873535
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39154860} λ = 0.39154860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.217825271873535))-π/2
    2×atan(1.24336979696284)-π/2
    2×0.893459598666966-π/2
    1.78691919733393-1.57079632675     		φ = 0.21612287
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39154860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.434082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21612287 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.382928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9213 KachelY 7624 0.39154860 0.21612287 22.434082 12.382928
    Oben rechts KachelX + 1 9214 KachelY 7624 0.39193209 0.21612287 22.456055 12.382928
    Unten links KachelX 9213 KachelY + 1 7625 0.39154860 0.21574828 22.434082 12.361466
    Unten rechts KachelX + 1 9214 KachelY + 1 7625 0.39193209 0.21574828 22.456055 12.361466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21612287-0.21574828) × R
    0.000374590000000008 × 6371000     		dl = 2386.51289000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21612287-0.21574828) × R
    0.000374590000000008 × 6371000     		dr = 2386.51289000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39154860-0.39193209) × cos(0.21612287) × R
    0.000383489999999986 × 0.976736216926441 × 6371000     		do = 2386.37637112325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39154860-0.39193209) × cos(0.21574828) × R
    0.000383489999999986 × 0.976816477092368 × 6371000     		du = 2386.57246394768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21612287)-sin(0.21574828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976736216926441-0.976816477092368)×R²
    abs(0.39193209-0.39154860)×8.02601659264379e-05×R²
    0.000383489999999986×8.02601659264379e-05×6371000²
    0.000383489999999986×8.02601659264379e-05×40589641000000     		ar = 5695352.02570041m²