Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9213 / 11254
↖ ↑ ↗
← N 75.510907°
W129.391479°		 ← 152.82 m → N 75.510907°
W129.385986°		 →
↑
152.78 m
↓
↑
152.78 m
↓
N 75.509533°
W129.391479°		 ← 152.83 m →
23 348 m²		 N 75.509533°
W129.385986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140586853027344 y=0.171730041503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140586853027344 × 216)
    floor (0.140586853027344 × 65536)
    floor (9213.5)     		tx = 9213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171730041503906 × 216)
    floor (0.171730041503906 × 65536)
    floor (11254.5)     		ty = 11254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9213 / 11254 ti = "16/9213/11254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9213/11254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9213 ÷ 216
    9213 ÷ 65536     		x = 0.140579223632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11254 ÷ 216
    11254 ÷ 65536     		y = 0.171722412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140579223632812 × 2 - 1) × π
    -0.718841552734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.25830734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171722412109375 × 2 - 1) × π
    0.65655517578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.06262891685178
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25830734} λ = -2.25830734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06262891685178))-π/2
    2×atan(7.86662334889406)-π/2
    2×1.44435514068559-π/2
    2.88871028137118-1.57079632675     		φ = 1.31791395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25830734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.391479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31791395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.510907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9213 KachelY 11254 -2.25830734 1.31791395 -129.391479 75.510907
    Oben rechts KachelX + 1 9214 KachelY 11254 -2.25821147 1.31791395 -129.385986 75.510907
    Unten links KachelX 9213 KachelY + 1 11255 -2.25830734 1.31788997 -129.391479 75.509533
    Unten rechts KachelX + 1 9214 KachelY + 1 11255 -2.25821147 1.31788997 -129.385986 75.509533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31791395-1.31788997) × R
    2.39799999999235e-05 × 6371000     		dl = 152.776579999513m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31791395-1.31788997) × R
    2.39799999999235e-05 × 6371000     		dr = 152.776579999513m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25830734--2.25821147) × cos(1.31791395) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.25019569834084 × 6371000     		do = 152.816472653191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25830734--2.25821147) × cos(1.31788997) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.250218915591869 × 6371000     		du = 152.830653466172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31791395)-sin(1.31788997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.25019569834084-0.250218915591869)×R²
    abs(-2.25821147--2.25830734)×2.32172510283291e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.32172510283291e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.32172510283291e-05×40589641000000     		ar = 23347.8613086499m²