Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9212 / 11251
↖ ↑ ↗
← N 75.515030°
W129.396972°		 ← 152.77 m → N 75.515030°
W129.391479°		 →
↑
152.84 m
↓
↑
152.84 m
↓
N 75.513656°
W129.396972°		 ← 152.79 m →
23 351 m²		 N 75.513656°
W129.391479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140571594238281 y=0.171684265136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140571594238281 × 216)
    floor (0.140571594238281 × 65536)
    floor (9212.5)     		tx = 9212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171684265136719 × 216)
    floor (0.171684265136719 × 65536)
    floor (11251.5)     		ty = 11251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9212 / 11251 ti = "16/9212/11251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9212/11251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9212 ÷ 216
    9212 ÷ 65536     		x = 0.14056396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11251 ÷ 216
    11251 ÷ 65536     		y = 0.171676635742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14056396484375 × 2 - 1) × π
    -0.7188720703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.25840321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171676635742188 × 2 - 1) × π
    0.656646728515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.0629165382495
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25840321} λ = -2.25840321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.0629165382495))-π/2
    2×atan(7.86888628351562)-π/2
    2×1.44439111649376-π/2
    2.88878223298752-1.57079632675     		φ = 1.31798591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25840321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.396972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31798591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.515030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9212 KachelY 11251 -2.25840321 1.31798591 -129.396972 75.515030
    Oben rechts KachelX + 1 9213 KachelY 11251 -2.25830734 1.31798591 -129.391479 75.515030
    Unten links KachelX 9212 KachelY + 1 11252 -2.25840321 1.31796192 -129.396972 75.513656
    Unten rechts KachelX + 1 9213 KachelY + 1 11252 -2.25830734 1.31796192 -129.391479 75.513656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31798591-1.31796192) × R
    2.39900000000848e-05 × 6371000     		dl = 152.84029000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31798591-1.31796192) × R
    2.39900000000848e-05 × 6371000     		dr = 152.84029000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25840321--2.25830734) × cos(1.31798591) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.250126026360307 × 6371000     		do = 152.77391785957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25840321--2.25830734) × cos(1.31796192) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.250149253725106 × 6371000     		du = 152.788104849918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31798591)-sin(1.31796192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250126026360307-0.250149253725106)×R²
    abs(-2.25830734--2.25840321)×2.32273647991499e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.32273647991499e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.32273647991499e-05×40589641000000     		ar = 23351.0940833529m²