Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9211 / 9203
↖ ↑ ↗
← S 21.677848°
E 22.390137°		 ← 2 270.42 m → S 21.677848°
E 22.412109°		 →
↑
2 270.24 m
↓
↑
2 270.24 m
↓
S 21.698265°
E 22.390137°		 ← 2 270.10 m →
5 154 037 m²		 S 21.698265°
E 22.412109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562225341796875 y=0.561737060546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562225341796875 × 214)
    floor (0.562225341796875 × 16384)
    floor (9211.5)     		tx = 9211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561737060546875 × 214)
    floor (0.561737060546875 × 16384)
    floor (9203.5)     		ty = 9203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9211 / 9203 ti = "14/9211/9203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9211/9203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9211 ÷ 214
    9211 ÷ 16384     		x = 0.56219482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9203 ÷ 214
    9203 ÷ 16384     		y = 0.56170654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56219482421875 × 2 - 1) × π
    0.1243896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.39078161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56170654296875 × 2 - 1) × π
    -0.1234130859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.387713644127014
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39078161} λ = 0.39078161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.387713644127014))-π/2
    2×atan(0.678606638440359)-π/2
    2×0.596223249669224-π/2
    1.19244649933845-1.57079632675     		φ = -0.37834983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39078161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.390137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37834983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.677848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9211 KachelY 9203 0.39078161 -0.37834983 22.390137 -21.677848
    Oben rechts KachelX + 1 9212 KachelY 9203 0.39116510 -0.37834983 22.412109 -21.677848
    Unten links KachelX 9211 KachelY + 1 9204 0.39078161 -0.37870617 22.390137 -21.698265
    Unten rechts KachelX + 1 9212 KachelY + 1 9204 0.39116510 -0.37870617 22.412109 -21.698265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37834983--0.37870617) × R
    0.000356340000000011 × 6371000     		dl = 2270.24214000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37834983--0.37870617) × R
    0.000356340000000011 × 6371000     		dr = 2270.24214000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39078161-0.39116510) × cos(-0.37834983) × R
    0.000383489999999986 × 0.92927545272478 × 6371000     		do = 2270.41953008105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39078161-0.39116510) × cos(-0.37870617) × R
    0.000383489999999986 × 0.929143766183191 × 6371000     		du = 2270.09779157499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37834983)-sin(-0.37870617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92927545272478-0.929143766183191)×R²
    abs(0.39116510-0.39078161)×0.00013168654158946×R²
    0.000383489999999986×0.00013168654158946×6371000²
    0.000383489999999986×0.00013168654158946×40589641000000     		ar = 5154036.93505023m²