Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9211 / 11250
↖ ↑ ↗
← N 75.516404°
W129.402466°		 ← 152.78 m → N 75.516404°
W129.396972°		 →
↑
152.78 m
↓
↑
152.78 m
↓
N 75.515030°
W129.402466°		 ← 152.79 m →
23 342 m²		 N 75.515030°
W129.396972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140556335449219 y=0.171669006347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140556335449219 × 216)
    floor (0.140556335449219 × 65536)
    floor (9211.5)     		tx = 9211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171669006347656 × 216)
    floor (0.171669006347656 × 65536)
    floor (11250.5)     		ty = 11250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9211 / 11250 ti = "16/9211/11250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9211/11250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9211 ÷ 216
    9211 ÷ 65536     		x = 0.140548706054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11250 ÷ 216
    11250 ÷ 65536     		y = 0.171661376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140548706054688 × 2 - 1) × π
    -0.718902587890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.25849909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171661376953125 × 2 - 1) × π
    0.65667724609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.06301241204874
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25849909} λ = -2.25849909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06301241204874))-π/2
    2×atan(7.86964073970512)-π/2
    2×1.44440310620366-π/2
    2.88880621240733-1.57079632675     		φ = 1.31800989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25849909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.402466°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31800989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.516404°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9211 KachelY 11250 -2.25849909 1.31800989 -129.402466 75.516404
    Oben rechts KachelX + 1 9212 KachelY 11250 -2.25840321 1.31800989 -129.396972 75.516404
    Unten links KachelX 9211 KachelY + 1 11251 -2.25849909 1.31798591 -129.402466 75.515030
    Unten rechts KachelX + 1 9212 KachelY + 1 11251 -2.25840321 1.31798591 -129.396972 75.515030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31800989-1.31798591) × R
    2.39799999999235e-05 × 6371000     		dl = 152.776579999513m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31800989-1.31798591) × R
    2.39799999999235e-05 × 6371000     		dr = 152.776579999513m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25849909--2.25840321) × cos(1.31800989) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.250102808533748 × 6371000     		do = 152.775670744897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25849909--2.25840321) × cos(1.31798591) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.250126026360307 × 6371000     		du = 152.789853388612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31800989)-sin(1.31798591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250102808533748-0.250126026360307)×R²
    abs(-2.25840321--2.25849909)×2.32178265587302e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.32178265587302e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.32178265587302e-05×40589641000000     		ar = 23341.6278722022m²