Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 9210 / 11227
↖ ↑ ↗
← N 75.547969°
W129.407959°		 ← 152.43 m → N 75.547969°
W129.402466°		 →
↑
152.46 m
↓
↑
152.46 m
↓
N 75.546598°
W129.407959°		 ← 152.45 m →
23 241 m²		 N 75.546598°
W129.402466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.140541076660156 y=0.171318054199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.140541076660156 × 216)
    floor (0.140541076660156 × 65536)
    floor (9210.5)     		tx = 9210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171318054199219 × 216)
    floor (0.171318054199219 × 65536)
    floor (11227.5)     		ty = 11227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 9210 / 11227 ti = "16/9210/11227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/9210/11227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9210 ÷ 216
    9210 ÷ 65536     		x = 0.140533447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11227 ÷ 216
    11227 ÷ 65536     		y = 0.171310424804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.140533447265625 × 2 - 1) × π
    -0.71893310546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.25859496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171310424804688 × 2 - 1) × π
    0.657379150390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.06521750943126
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.25859496} λ = -2.25859496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06521750943126))-π/2
    2×atan(7.88701321085756)-π/2
    2×1.44467856256187-π/2
    2.88935712512374-1.57079632675     		φ = 1.31856080
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.25859496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.407959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31856080 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.547969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9210 KachelY 11227 -2.25859496 1.31856080 -129.407959 75.547969
    Oben rechts KachelX + 1 9211 KachelY 11227 -2.25849909 1.31856080 -129.402466 75.547969
    Unten links KachelX 9210 KachelY + 1 11228 -2.25859496 1.31853687 -129.407959 75.546598
    Unten rechts KachelX + 1 9211 KachelY + 1 11228 -2.25849909 1.31853687 -129.402466 75.546598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31856080-1.31853687) × R
    2.39300000000053e-05 × 6371000     		dl = 152.458030000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31856080-1.31853687) × R
    2.39300000000053e-05 × 6371000     		dr = 152.458030000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.25859496--2.25849909) × cos(1.31856080) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.249569368920726 × 6371000     		do = 152.433918303394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.25859496--2.25849909) × cos(1.31853687) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.249592541630432 × 6371000     		du = 152.44807191108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31856080)-sin(1.31853687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.249569368920726-0.249592541630432)×R²
    abs(-2.25849909--2.25859496)×2.31727097050882e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.31727097050882e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.31727097050882e-05×40589641000000     		ar = 23240.8538061821m²