Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 921 / 601
↖ ↑ ↗
← N 77.598848°
W 99.052734°		 ← 2 098.80 m → N 77.598848°
W 98.964844°		 →
↑
2 100.39 m
↓
↑
2 100.39 m
↓
N 77.579959°
W 99.052734°		 ← 2 101.94 m →
4 411 600 m²		 N 77.579959°
W 98.964844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2249755859375 y=0.1468505859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2249755859375 × 212)
    floor (0.2249755859375 × 4096)
    floor (921.5)     		tx = 921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1468505859375 × 212)
    floor (0.1468505859375 × 4096)
    floor (601.5)     		ty = 601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 921 / 601 ti = "12/921/601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/921/601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 921 ÷ 212
    921 ÷ 4096     		x = 0.224853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 601 ÷ 212
    601 ÷ 4096     		y = 0.146728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.224853515625 × 2 - 1) × π
    -0.55029296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.72879635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146728515625 × 2 - 1) × π
    0.70654296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.21967020000708
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72879635} λ = -1.72879635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21967020000708))-π/2
    2×atan(9.20429478890447)-π/2
    2×1.46257586214078-π/2
    2.92515172428157-1.57079632675     		φ = 1.35435540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72879635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.052734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35435540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.598848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 921 KachelY 601 -1.72879635 1.35435540 -99.052734 77.598848
    Oben rechts KachelX + 1 922 KachelY 601 -1.72726237 1.35435540 -98.964844 77.598848
    Unten links KachelX 921 KachelY + 1 602 -1.72879635 1.35402572 -99.052734 77.579959
    Unten rechts KachelX + 1 922 KachelY + 1 602 -1.72726237 1.35402572 -98.964844 77.579959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35435540-1.35402572) × R
    0.000329679999999888 × 6371000     		dl = 2100.39127999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35435540-1.35402572) × R
    0.000329679999999888 × 6371000     		dr = 2100.39127999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72879635--1.72726237) × cos(1.35435540) × R
    0.00153398000000005 × 0.214754957794634 × 6371000     		do = 2098.79732051549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72879635--1.72726237) × cos(1.35402572) × R
    0.00153398000000005 × 0.215076934011791 × 6371000     		du = 2101.94398976484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35435540)-sin(1.35402572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214754957794634-0.215076934011791)×R²
    abs(-1.72726237--1.72879635)×0.000321976217156877×R²
    0.00153398000000005×0.000321976217156877×6371000²
    0.00153398000000005×0.000321976217156877×40589641000000     		ar = 4411600.24878453m²