Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9204 / 9194
↖ ↑ ↗
← S 21.493963°
E 22.236328°		 ← 2 273.30 m → S 21.493963°
E 22.258301°		 →
↑
2 273.17 m
↓
↑
2 273.17 m
↓
S 21.514406°
E 22.236328°		 ← 2 272.98 m →
5 167 250 m²		 S 21.514406°
E 22.258301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.561798095703125 y=0.561187744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.561798095703125 × 214)
    floor (0.561798095703125 × 16384)
    floor (9204.5)     		tx = 9204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.561187744140625 × 214)
    floor (0.561187744140625 × 16384)
    floor (9194.5)     		ty = 9194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9204 / 9194 ti = "14/9204/9194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9204/9194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9204 ÷ 214
    9204 ÷ 16384     		x = 0.561767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9194 ÷ 214
    9194 ÷ 16384     		y = 0.5611572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.561767578125 × 2 - 1) × π
    0.12353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.38809714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5611572265625 × 2 - 1) × π
    -0.122314453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.38426218735437
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38809714} λ = 0.38809714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.38426218735437))-π/2
    2×atan(0.68095286654187)-π/2
    2×0.597827946662975-π/2
    1.19565589332595-1.57079632675     		φ = -0.37514043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38809714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.236328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37514043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.493963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9204 KachelY 9194 0.38809714 -0.37514043 22.236328 -21.493963
    Oben rechts KachelX + 1 9205 KachelY 9194 0.38848063 -0.37514043 22.258301 -21.493963
    Unten links KachelX 9204 KachelY + 1 9195 0.38809714 -0.37549723 22.236328 -21.514406
    Unten rechts KachelX + 1 9205 KachelY + 1 9195 0.38848063 -0.37549723 22.258301 -21.514406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37514043--0.37549723) × R
    0.00035679999999999 × 6371000     		dl = 2273.17279999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37514043--0.37549723) × R
    0.00035679999999999 × 6371000     		dr = 2273.17279999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38809714-0.38848063) × cos(-0.37514043) × R
    0.000383489999999986 × 0.930456177086146 × 6371000     		do = 2273.30429330365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38809714-0.38848063) × cos(-0.37549723) × R
    0.000383489999999986 × 0.930325385201914 × 6371000     		du = 2272.98474063768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37514043)-sin(-0.37549723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930456177086146-0.930325385201914)×R²
    abs(0.38848063-0.38809714)×0.000130791884232262×R²
    0.000383489999999986×0.000130791884232262×6371000²
    0.000383489999999986×0.000130791884232262×40589641000000     		ar = 5167250.34126508m²